Construcción del Conjunto de los Números Enteros Z

Saludos a toda la comunidad de Steemiana, en particular a todos los académicos interesados en temas científicos y matemáticos, como habían indicado en publicaciones anteriores las Relaciones Binarias por si mismas tienen gran aplicación en diferentes ámbitos de la vida de los seres humanos, en casos concretos que se han mencionado y ejemplificado anteriormente, no obstante debemos recordar que la humanidad por sus mismas necesidades ha requerido de forma paulatina y progresiva apoyarse en saberes matemáticos de mayor complejidad para seguir dando respuestas efectivas que le permitan comprender este mundo y otros, y sobre todo evolucionar y es en este sentido que observamos que la Matemática se fortalece de ella misma para seguir dando servicio a la humanidad.

En esta oportunidad, se estará presentando una de las muchas posibilidades de reproducir conocimientos matemáticos a partir de otros, esto es, se aplicarán las nociones inherentes a las Relaciones de Equivalencia en el proceso de construir y comprender ¿por qué existe el conjunto de los números enteros Z? y ¿en qué se fundamenta su existencia?

Es muy importante revisar las publicaciones previas, sobre todo las que tienen que ver con las Relaciones de Equivalencia de manera que lo que a continuación se muestra pueda ser comprendido a cabalidad.

En principio es importante considerar el punto de partida desde el cual se dará inicio a la travesía de construcción del conjunto de los números enteros, por lo cual se plantea la siguiente definición:

En el producto cartesiano N×N se define la siguiente relación

Debemos demostrar en primer lugar que la relación R así definida es de equivalencia, para lo cual conviene recordar que su definición indica comprobar las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad. Procedamos:

Demostrando

• Reflexividad

∀(a,b)∈N×N ⇒ a∈N ∧ b∈N, por definición de producto cartesiano
⇒a+b∈N, por clausura de la adición en el conjunto de los números naturales N
⇒a+b=b+a, por propiedad conmutativa de la adición en el conjunto de los números naturales N
⇒(a,b)R(a,b), por definición de la relación R
∴ La relación R es Reflexiva, por definición de reflexividad.

• Simetría

∀(a,b),(c,d)∈N×N,(a,b)R(c,d)⇒a+d=b+c, por definición de la relación R donde a,b,c,d∈N por definición de producto cartesiano
⇒d+a=c+b, por propiedad conmutativa de la adición en el conjunto de los números naturales N
⇒c+b=d+a, por simetría de la igualdad
⇒(c,d)R(a,b), por definición de la relación R
∴ La relación R es Simétrica, por definición de simetría.

• Transitividad

∀(a,b),(c,d),(e,f)∈N×N,(a,b)R(c,d)∧(c,d)R(e,f)⇒a+d=b+c∧c+f=d+e, por definición de la relación R donde a,b,c,d,e,f∈N por definición de producto cartesiano
⇒(a+d)+(c+f)=(b+c)+(d+e), sumando miembro a miembro
⇒(a+d)+(f+c)=(b+c)+(e+d), por propiedad conmutativa de la adición en el conjunto de los números naturales N
⇒a+(d+f)+c=b+(c+e)+d, por propiedad asociativa de la adición en el conjunto de los números naturales N
⇒a+(f+d)+c=b+(e+c)+d, por propiedad conmutativa de la adición en el conjunto de los números naturales N
⇒(a+f)+(d+c)=(b+e)+(c+d), por propiedad asociativa de la adición en el conjunto de los números naturales N
⇒(a+f)+(c+d)=(b+e)+(c+d), por propiedad conmutativa de la adición en el conjunto de los números naturales N
⇒a+f=b+e, por propiedad cancelativa de la adición en el conjunto de los números naturales N
⇒(a,b)R(e,f), por definición de la relación R
∴ La relación R es Transitiva, por definición de transitividad.

∴ La relación R es una relación de equivalencia, por definición de relación de equivalencia.

Una vez que hemos demostrado que la relación dada es de equivalencia debemos recordar por el Teorema Fundamental de las Relaciones de Equivalencia - ver aquí - que al definir una relación de equivalencia en un conjunto no vacío, la misma establece una partición de éste en clases de equivalencia, razón por la cual es pertinente determinar las mismas.

Por definición

Para el caso particular que estamos desarrollando sería

Luego, por definición de la relación ∼ dada

Ahora bien, por propiedad tricotómica de la relación menor que definida en el conjunto de los números naturales N se tiene que

Esto nos indica que para determinar las clases de equivalencia [a,b] se deben considerar los tres escenarios, por lo cual se estudiarán detalladamente a continuación:

• Caso 1: Si a=b

[a,a]={(x,y)∈N×N/x+a=y+a}, por considerar a=b
⇒[a,a]={(x,y)∈N×N/x=y}, por propiedad cancelativa de la adición en el conjunto de los números naturales N
⇒[a,a]={(x,x)/x∈N}

Esto indica que el conjunto viene dado por todos los pares de componentes iguales, esto es, la diagonal del producto cartesiano N×N, el cual se representa por extensión como sigue

Y en esta parte hemos encontrado la clase de equivalencia [0,0] identificada así por ser el par ordenado (0,0) el elemento canónico de la clase, en este sentido, la misma corresponde al entero cero.

• Caso 2: Si a<b

∃k∈N/k≠0∧b=a+k,0≠ k=b-a, por definición de la relación menor que
⇒b+0=a+k, por definición de elemento neutro para la adición en el conjunto de los números naturales N
⇒a+k=b+0, por simetría de la igualdad
⇒(a,b)~(0,k), por definición de la relación ~
⇒[a,b]~[0,k], por propiedad de clases de equivalencia

Expresado por comprensión

∴∀k∈N/k≠0;[0,k]=-k

• Caso 3: Si b<a

∃k∈N/k≠0∧a=b+k, por definición de la relación menor que
⇒a+0=b+k, por definición de elemento neutro para la adición en el conjunto de los números naturales N
⇒(a,b)~(k,0), por definición de la relación ~
⇒[a,b]~[k,0], por propiedad de clases de equivalencia

Por comprensión

∴∀k∈N/k≠0;[k,0]=k

Las clases de equivalencia que han sido determinadas pueden ser representadas gráficamente como sigue

Una vez estudiadas las alternativas planteadas a partir de la propiedad tricotómica nos damos cuenta de que en las clases de equivalencia resultantes al menos una de las componentes en nula, por lo cual el conjunto de índices queda definido como sigue

Luego el conjunto cociente

Sea la relación de equivalencia ∼ definida en el producto cartesiano N×N como sigue

Se define el Conjunto de los Números Enteros Z de la siguiente forma

Donde el conjunto de índices viene dado por

Expresado por extensión tenemos

O como se conoce habitualmente

Esto nos lleva a la definición formal de los tres subconjuntos conocidos del Conjunto de los Números Enteros Z

• Entero Cero:

• Enteros Positivos:

• Enteros Negativos:

Hemos logrado evidenciar mediante la presentación de estos saberes matemáticos que es posible aplicar nociones de esta importante ciencia en la construcción de nuevos conceptos que son de interés para el progreso y evolución de la humanidad, logrando satisfacer sus necesidades contextuales. En este caso particular a partir de las concepciones referentes a las relaciones de equivalencia se ha logrado construir el conjunto de los números enteros, legado histórico de nuestros científicos que lograron tener una visión más allá de responder con firme sustento a la aspiración de tener un conjunto numérico que permitiera representar por ejemplo, situaciones de deudas, temperaturas bajo cero, préstamos, entre otros, que con el conjunto de los números naturales no se podía estudiar ni comprender.

Situaciones como las identificadas, son las que han hecho que cada vez los seres humanos busquen posibilidades de contextos numéricos que permitan comprender los misterios de la naturaleza, y gracias a esa cualidad tan importante como es la curiosidad es que hoy por hoy contamos con potentes conjuntos numéricos que han acompañado para bien y para mal la evolución científica y tecnológica del mundo.

Seguiremos explorando saberes matemáticos de interés para todos en las próximas publicaciones, nos leemos en el siguiente post, saludos y éxitos para todos los lectores y académicos de esta comunidad.

La Matemática es una ciencia comprendida por algunos pero aprovechada por toda la humanidad – Reina Sequera

Referencia

Armando, R. (2001). Algebra I. Edición XX. Editorial El Ateneo.

Lipschutz, S. (1970). Teoría de Conjuntos y Temas Afines. Teoría y 530 problemas resueltos. Serie de compendios SCHAUM. Mc Graw-Hill.

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