Efectivamente el método para mostrar que la cardinalidad de los racionales es la misma de los naturales, se llama el método diagonal de Cantor. Y es una idea muy ingeniosa. Cantor fue quien abrió la puerta, para entender el concepto de infinito y la teoría de conjuntos.

Ese libro de Penrose que mencionas es muy bueno y tiene muchísima información, dirigida a un público bastante general.

Las singularidades, son divisiones entre cero. Dependiendo del contexto eso se puede manejar. En variable compleja, es normal y trabajas el infinito como un punto más de la esfera de Riemmann.

Ejemplo de lo que escribes es esto:
En física se trabaja con esta igualdad 1+2+3+4+...= -1/12, lo cual claramente es un abuso de notación y de lenguaje. La serie 1+2+3+.... obviamente diverge. Pero la función zeta de Riemman, tiene una continuación analítica en -1 y ahí su valor es -1/12. Pero si se toma la expresión clásica de la función zeta de Riemann (que es válida solamente si la parte real de la variable es mayor que uno) y se evalúa en -1 , lo cual es un exabrupto, da 1+2+3+... y de ahí la igualdad. Es interesante ver que Ramanujan escribió esta igualdad en una de sus cartas a Hardy.

Gracias por el comentario. Saludos.