Paradojas del infinito — El hotel infinito de Hilbert
Como mencioné en un post anterior, la existencia del infinito acarrea una serie de paradojas que contradicen el sentido común, lo que se conoce como paradojas contra-intuitivas. El infinito es un concepto muy usado, que muy poca gente entiende, para ello se requiere cierta formación lógica y/o matemática.
En esta oportunidad voy a describir la paradoja del hotel con infinitas habitaciones que fue postulada por al matemático alemán David Hilbert (1862-1943); él fue uno de los matemáticos más influyentes de la historia. Para el año 1900 publicó una serie de problemas, que forjaron el curso de las matemáticas durante el siglo XX. En total fueron 23 problemas y algunos de ellos todavía no se han resuelto. Esta paradoja fue publicada en 1924 y tiene un carácter divulgativo de hechos ya conocidos para la época.
David Hilbert en 1912
Hay mucho tipos de infinitos, en el post de hoy me referiré solamente al infinito numerable, que es “el infinito más pequeño”, por supuesto que estoy abusando el lenguaje al hacer esta afirmación. Pero no entraré en precisar más esta afirmación. El infinito numerable es el que corresponde con los números naturales, es decir: 1,2,3,….
Las paradojas del hotel con infinitas habitaciones de Hilbert se pueden describir así:
Suponga un hotel con infinitas habitaciones y que esté completamente ocupado por huéspedes, que no tenga habitaciones disponibles, además se requiere cada habitación tenga un solo ocupante. Si un nuevo huésped llega y solicita una habitación el encargado del hotel puede hacer que se desocupe una nueva habitación y hospedar al solicitante y que cada habitación tenga sólo un ocupante, ¿cómo? muy simple.
El encargado hace que el ocupante de la habitación número 1 se nueva a la habitación número 2, el de la habitación 2 a la número 3, y así sucesivamente; es decir el ocupante de la habitación número n se muda para la n+1, para todos los n naturales. Y así se libera el cuarto número 1, que la ocupara el nuevo solicitante.
Ahora suponga que llegan k personas (aquí k es un número natural) y preguntan por habitaciones disponibles. El encargado puede liberar k habitaciones, de la siguiente manera: Hace que el ocupante de la habitación número n se mude para la n+k, esto para todos los números n naturales, y así se liberan los cuartos correspondientes a los números 1 hasta k.
¿Qué pasa si de repente llega un autobús con un numero infinito (numerable) de personas que desean hospedarse en el hotel? Resulta ser que el encargado del hotel puede alojarlos a todos. ¿Cómo?. El encargado mueve el ocupante de la habitación n a la habitación 2n. Así se liberan todos los cuartos impares, como hay una cantidad infinita (numerable) de ellos, ahí se hospedan los recién llegados. Observe que al final todas las habitaciones quedan ocupadas.
Suponga que ahora llegan una cantidad infinita (numerable) de autobuses y cada uno de ellos con una cantidad infinita de solicitantes de habitaciones. ¿Cómo hospedarlos a todos ellos?
Primero, hay que recordar que hay infinitos números primos, resultado que se debe a Euclides; un número es primo si sólo es divisible por 1 y él mismo. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….
Volviendo al problema de encontrar habitaciones para los solicitantes. El encargado mueve el ocupante de la habitación número n a la número 2n (2 a la n-esima potencia), de esta forma todas las habitaciones con número que son potencias de 2, están ocupadas y las otras desocupadas.
Ahora llega el primer autobús, el pasajero k-esimo de ese autobús (recuerde que tiene un número infinito de pasajeros) se le asigna la habitación número 3k. Ahora todas las habitaciones cuyo números son potencias de 3 se ocupan.
Con respecto al segundo autobús, al pasajero k-esimo de ese autobús se le asigna la habitación número 5k. Al pasajero k-esimo del tercer autobús se le asigna la habitación 7k. Como pueden observar hasta ahora todas las habitaciones cuyos números son potencias de 2,3,5 y 7 están ocupadas. Este proceso se continua con los otros número primos.
En resumen el pasajero k-esimo del autobús i-esimo se le asigna la habitación número pk, donde p es el primo en la posición i-esima de la lista: {3,5,7,11,13, 17, 19, 23,….} .
Observe que al final de este proceso se tendrán habitaciones vacías (de hecho un número infinito de ellas). Por ejemplo, el cuarto número 15 queda vacío, ya que 15=3x5, no es potencia de ningún primo.
Observen la paradoja aquí: empezamos con un hotel lleno, llegaron un número infinito de autobuses cada uno de ellos con un número infinito de pasajeros. Luego de realizar la operación descrita anteriormente, se termina hospedando a todos los solicitantes que llegaron y el hotel acaba teniendo un número infinito de cuartos varios.
Por supuesto que hay otras maneras, diferentes a las expuestas aquí, de acomodar a los nuevos solicitantes de habitaciones.
Espero que hayan encontrado este material interesante y me gustaría leer sus comentarios. Planeo publicar otros posts explicando otras paradojas que involucra el concepto del infinito.
Referencia:
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_paradox_of_the_Grand_Hotel
Súper interesante, me gustó mucho la forma en que lo explicas. El estudio del infinito es algo fascinante. Una vez estaba explicando el conjunto de números naturales, enteros, racionales y reales, entonces un estudiante me preguntó que cuantos números había en cada conjunto, entonces le dije que había infinitos. Luego en medio de una explicación (no recuerdo exactamente) dije que habían más números reales que racionales, el estudiante muy atento me preguntó que como era posible que conjuntos infinitos tuvieran cantidades diferentes de elementos, me puso en un apuro, pero logré salvarme gracias a que recordé a Georg Cantor quien demostró por medio de un método llamado “Corte diagonal” que hay más números reales que racionales. Hay una sencilla explicación hecha por Robert Penrose en su libro “La nueva mente del emperador” en la página 82 y 83. A nosotros los físicos no nos gustan los infinitos, llamados también singularidades, se utilizan métodos llamados renormalización para tratar de evitar estos malditos infinitos en la solución de ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo no todos son evitables, quizás haya algo oculto en esos infinitos que no hemos podido encontrar, o peor aún que dentro de las singularidades encontremos más y más infinitos.
Espero con curiosidad tus nuevas y como siempre interesantes y educativas entregas. Gracias nenio.
Resteem.
Efectivamente el método para mostrar que la cardinalidad de los racionales es la misma de los naturales, se llama el método diagonal de Cantor. Y es una idea muy ingeniosa. Cantor fue quien abrió la puerta, para entender el concepto de infinito y la teoría de conjuntos.
Ese libro de Penrose que mencionas es muy bueno y tiene muchísima información, dirigida a un público bastante general.
Las singularidades, son divisiones entre cero. Dependiendo del contexto eso se puede manejar. En variable compleja, es normal y trabajas el infinito como un punto más de la esfera de Riemmann.
Ejemplo de lo que escribes es esto:
En física se trabaja con esta igualdad 1+2+3+4+...= -1/12, lo cual claramente es un abuso de notación y de lenguaje. La serie 1+2+3+.... obviamente diverge. Pero la función zeta de Riemman, tiene una continuación analítica en -1 y ahí su valor es -1/12. Pero si se toma la expresión clásica de la función zeta de Riemann (que es válida solamente si la parte real de la variable es mayor que uno) y se evalúa en -1 , lo cual es un exabrupto, da 1+2+3+... y de ahí la igualdad. Es interesante ver que Ramanujan escribió esta igualdad en una de sus cartas a Hardy.
Gracias por el comentario. Saludos.
Es una paradoja fascinante. Hace tiempo la leí y me costó entenderla pero la has explicado muy bien.
Este tipo de post me encantan.
Enhorabuena!
Me alegra que te haya gustado el post. El concepto del infinito involucra muchas paradojas. Esta idea no fue comprendida hasta los primeros años del siglo XX.
Planeo continuar escribiendo sobre estos temas.
Gracias por el comentario. Saludos.
Me llamo mucho la atencion por que precisamente soy recepcionista de hotel.. y muy interesante tu post. Si analizas muy bien te quedas dentro de la lectura. El infinito sin fin jejeje. Me gusto tu post. Saludos
El recepcionista de un hotel infinito, tendría mucho trabajo, como se puede ver en el post!!
La figura del encargado/recepcionista del hotel, sólo se usa para ilustrar un concepto matemático, que en su naturaleza es abstracto.
Gracias por comentar.
Siempre he quedado un tanto aturdido cuando se tratan términos tan abstractos, y si contemplan dentro de si una paradoja más [misterioso[ encuentro el tema, te sigo para para estar pendiente de mas publicaciones así. Me ha encantado :)
Me alegra que le haya gustado la publicación. La intención es dar a conocer, en términos sencillos, estas ideas abstractas y contradictorias del sentido común.