Integral indefinida de funciones reales por el método de sustitución de variables.

Llegado el momento ya tengo listo mi siguiente artículo cuyo tema he definido en el título pero antes de comenzar quiero dar gracias a todas las personas que me han apoyado en mi corto tiempo en esta plataforma que mientras más descubro más me gusta, quiero agradecer a @don.quijote y al proyecto @cervantes por su apoyo en la publicación anterior, además he recibido una invitación a whitelist de @minnowbooster, aún desconozco de quien fue la iniciativa pero gracias, estoy leyendo sobre todos estos proyectos para aprender más de ellos y encontrar una forma de contribuir, también he leído muchos artículos de la comunidad @stem-espanol y me parece que hay mucho contenido de calidad, todo esto hace que me sienta comprometida a entregar lo mejor en cada artículo y espero seguir por el buen camino. Por cierto, casi lo olvido. Quiero agradecer además a @lizdeluca quien lee y apoya mis artículos a pesar de que no le apasionan las matemáticas 😂 gracias y recuerda que todos tenemos un don distinto y esa es la razón de que nos necesitemos para crecer como comunidad. Bueno tampoco quiero basar el artículo en puros agradecimientos porque de verdad son bastantes personas y ocuparía mucho espacio en ello, así que sin más vamos a lo principal.

Imagen copiada de Pixabay

Integración: Hasta este momento hemos estado ocupados con el problema: dada una función, hallar su derivada (o diferencial). Muchas de las aplicaciones más importantes del cálculo llevan al problema inverso: dada la derivada de una función, encontrar la función. La función requerida es llamada una integral de la derivada dada, y al proceso de determinarla se le llama integración. La función dada es el integrando.

Si f es una función dada y F es una función cuya derivada es F , la relación entre ellas se expresa escribiendo:

F=

Donde el símbolo , llamado el signo integral, indica que debemos realizar la operación de integración sobre , esto es, debemos hallar una función de la variable ¨x¨ cuya derivada sea o cuyo diferencial sea .
Por razones que aparecerán posteriormente, siempre escribiremos después del signo integral el diferencial preferiblemente a la derivada .

Para ilustrar con un ejemplo vamos a calcular

Como la derivación reduce el exponente en 1, la integración debe incrementar el exponente en 1 (de manera, que al derivar nuestra respuesta, podamos regresar al exponente original). Así, nuestro primer intento de adivinar la respuesta podría ser x³. Pero presenta un factor 3 no deseado. Para corregir esto enmendamos nuestra primera adivinanza dividiendo entre 3. Ahora, =, pero la adición de la constante que sea, a , no altera el diferencial. Luego,

= _ (1)
donde C es una constante arbitraria. La ecuación (1) es equivalente a =

Es natural preguntarse si pueden haber otras funciones correctas, pero esencialmente diferentes para el segundo miembro de (1), o sea si hay funciones que pueden tener el diferencial y diferir de por algo que no sea una constante.
La respuesta, contenida en el siguiente teorema, es ¨NO¨.

TEOREMA: Dos funciones que tienen la misma derivada difieren tan solo en una constante.
Sean f(x) y g(x) las dos funciones, y escribamos: y=f(x)-g(x). Por hipótesis,

=

La taza de cambio de “y” con respecto a “x ” siempre es cero, luego “y ” es constante.
Queda claro ahora, que una función cuya derivada está dada, no resulta completamente determinada puesto que aparece una constante aditiva arbitraria, la constante de integración. Por esta razón la función se llama la integral indefinida de .

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PROPIEDADES GENERALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

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Las propiedades siguientes son fácilmente verificables por diferenciación.

(i)
(ii)
(iii)

La fórmula (i) es meramente la definición de integral y la abreviaremos escribiendo simplemente

La segunda fórmula muestra que si el integrando consiste de una suma de términos, cada término puede integrarse por separado.
La tercera fórmula dice que si el integrando contiene un factor constante, ese factor puede escribirse delante del signo integral. Como corolario, podemos introducir un factor constante en el integrando siempre y cuando escribamos su recíproco delante del signo integral. Pero, nunca es permisible introducir factores variables mediante esta regla, por la sencilla razón de que una respuesta obtenida de esta forma no puede ser posiblemente correcta.

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LA FÓRMULA DE POTENCIA.

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En la fórmula, , reemplacemos n por n+1 quedando

Dividiendo entre n +1 (como esto es imposible cuando n =-1 , tal valor debe ser excluido), y revirtiendo la ecuación nos queda,

Integrando, obtenemos la fórmula de potencia general para integración

siempre y cuando n no sea igual a -1

Esta fórmula correctamente aplicada sirve para evaluar integrales similares a la del ejemplo previo descartando el método de ensayo y error empleado en aquel momento.
Pero aparte de meros errores algebraicos, casi siempre ocurre, especialmente al principio, que se interpreta la fórmula incorrectamente: de modo que será importante como siempre verificar nuestra respuesta mediante derivación.

Muchas integrales pueden calcularse mediante la introducción de una nueva variable de integración, digamos por ejemplo “u”, en lugar de la variable original “x”, estando conectadas las dos variables por alguna fórmula adecuada. El cambio de variable se presenta usualmente mediante una sustitución explícita:

,

Este proceso, llamado integración por sustitución, es de gran importancia y es bueno recalcar que no solamente “x”, sino el dx también, debe ser sustituido por su correspondiente adecuado en términos de la nueva variable.
Como regla a seguir, la naturaleza de la sustitución que ha de realizarse, es decir, la fórmula que conecta a “x” y “u”, debe determinarse por inspección del integrando dado. No pueden darse direcciones generales; la destreza en el uso de sustituciones se adquiere tan sólo con la práctica. En muchos casos, varias sustituciones distintas son posibles y cualquiera tendrá éxito.

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Es todo por hoy, he tratado de hacerlo lo más sencillo posible para su fácil comprensión, tardo mucho en publicar porque hacer estas ecuaciones y subirlas me lleva mucho tiempo, aún así se que el esfuerzo vale la pena, ustedes me han demostrado que es así, antes de despedirme como siempre quiero recomendar las siguientes lecturas:

• Juan Luis Corcobado Cartes y Javier Marijuán López. Matemáticas I C.O.U Opciones A y B.

• Louis Leithold. El Cálculo 7ma Edidción.
  Pepperdine University

• https://www.vitutor.com/

• https://es.khanacademy.org/math