Sistemas de Numeración | Serie Computación y Programación #7

Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente. Este post es la séptima entrega de la serie Computación y Programación, en el seguiremos tratando el tema de los sistemas de numeración y su representación numérica en las diferentes bases. En esta oportunidad hablaremos sobre las operaciones aritméticas de los números binarios, donde mostraremos los detalles de dicha operación. Estos temas son parte de un curso de Programación y diseño de algoritmos.

La Serie Computación y Programación, consiste en una entrega diaria, donde hablaremos de un tema, en la misma abordaremos los aspectos teóricos, y abordaremos algunos ejemplos con el fin de ejemplificar y explicar como usar el tema explicado en la publicación. La misma está dirigida al público en general, pero con especial atención a estudiantes universitarios, que deseen estudiar o estudien computación, ingeniería en computación y carreras afines. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo del mismo. Sin perder más tiempo, iniciemos.

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Suma de Números Binarios

Para sumar números binarios, es necesario tener unas reglas para efectuar dicha operación, así es de hacer notar que dichas reglas para sumar o restar números binarios son muy similares a las que se utilizan en el sistema decimal.

Pero es importante, hacer notar que la diferencia principal radica en que la adición se limita a dos dígitos. Es por ello, que mostraremos la siguiente tabla dar las reglas de la suma de los dígitos binarios.

Es bueno recordar que para realizar apropiadamente estas operaciones aritméticas es necesario, al igual que se hace en la aritmética de números decimales, alinear los números más a la derecha, como podemos verlo a continuación.

Veamos algunos ejemplos para mostrar la aritmética de números binarios.

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Ejemplo 01: ¿Cuál es el resultado de sumar los números binarios 10111100 y 11001111?

Primeramente, debemos alinear los dos números, como lo describimos anteriormente:

Comencemos con los dígitos más a la derecha, como se hace normalmente en la aritmética decimal. Podemos observar que tenemos la operación 0+1, lo cual según nuestra tabla de suma que dimos inicialmente su resultado es 1, análogamente, para el segundo dígito ubicado en la segunda columna de derecha a izquierda, su resultado es 1, como lo podemos observar ahora:

Posteriormente tomamos la tercera de columna de derecha a izquierda, tenemos la operación 1+1, según la tabla que define la operación de suma binaria, tenemos como resultado 0, pero acotando, que como en la operación decimal, cuando sumamos 9+1, tiene como resultado 10, entonces se coloca el dígito final, y adicionamos el 1 a la siguiente columna y lo sumamos posteriormente cuando realicemos la operación con la siguiente columna, esto lo podemos visualizar como sigue:

En la operación de la columna siguiente, tenemos 1+1+1, la cual podemos hacer paso a paso, primero sumamos 1+1, al igual que el caso anterior, es cero, y posteriormente 0+1, es igual a 1, así, 1+1+1 es igual a 1, pero teniendo en cuenta que agregamos un 1 a la siguiente columna, como podemos ver:

Siguiendo con la quinta columna tenemos que la operación a realizar es 1+1+0, lo cual análogamente al caso anterior tenemos como resultado 0, y agregamos un 1 a la columna siguiente, como lo podemos apreciar

La siguiente columna tenemos la misma operación del la anterior, la cual podemos apreciar a continuación:

Seguidamente se repite la misma operación anterior, así tenemos:

Luego tenemos la operación 1+1+1 en la siguiente columna, pero como ya lo dijimos anteriormente tiene como resultado 1, acotando que debemos agregar un 1 en la siguiente columna, pero como no hay mas columnas a la derecha, debemos adicionar una nueva columna y debemos rellenar de 0 en ambos casos, lo cual no afecta a nuestra suma, como mostramos abajo:

Finalmente, tenemos 1+0+0, cuya suma es 1, y el resultado de nuestra suma es el siguiente:

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El proceso de restar números binarios es muy similar al usado en el sistema decimal. La diferencia principal es que en lugar de tomar prestado diez se pide a prestado dos de los dígitos de mayor grado (aquellos a la izquierda de un dígito en particular).

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Ejemplo 02: ¿Cuál es el resultado de restar 11 de 1001 en el sistema de los números binarios?

De manera similar a la resta en el sistema decimal, colocamos el número binario mayor primero y debajo el número binario menor, ordenándolos de derecha a izquierda como lo podemos apreciar a continuación:

Así, tomando la primera columna a la izquierda, tenemos 1-1 como operación a resolver, cuyo resultado es 1, ya que 1 es un símbolo que pertenece al conjunto de símbolos permitidos. Es por ello que obtenemos lo siguiente:

Seguidamente, cuando hacemos la resta de la segunda columna tenemos la operación 0-1, la cuál no podemos efectuar, para ello debemos pedir un dos prestado al de la columna del lado izquierdo, entonces tendríamos 2-1, cuyo resultado es 1, así colocamos el 1, como resultado y nos queda un uno en la columna a la cual le prestamos el dos, quedando de la siguiente manera:

Ahora bien, en la anterior resta se le presto un dos al cero, el cuál como en el caso decimal, no tenia como prestar, le pido prestado al 1 que esta en la columna final, quedando este en cero, por lo tanto la operación de la última columna será 0-0 (noté que completamos la fila de abajo con ceros, para visualizar mejor la operación) que lo podemos ver en lo que sigue y de esta manera obtenemos nuestro resultado.

Resumiendo, podemos expresar el resultado de la siguiente manera:

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Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado de esta séptima entrega de la serie de Computación y Programación, de igual manera los invito para la próxima entrega de esta serie, donde continuaremos tratando este tan bonito tema de los sistemas de numeración y otros aspectos. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y la computación. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias.

• Knuth, Donald Ervin. The art of computer programming. Vol. 1, 2, y 3. Pearson Education, 1997.
• Knuth, Donald Ervin. Fundamental algorithms: the art of computer programming. 1973.
• Knuth, Donald Ervin. Computer programming as an art. ACM Turing award lectures. ACM, 2007.

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También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Computación y Programación, que estoy seguro serán de su interés:

Sistemas de Numeración #1	Sistemas de Numeración #2
Sistemas de Numeración #3	Sistemas de Numeración #4
Sistemas de Numeración #5	Sistemas de Numeración #6

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Todas las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath con , y GIMP.

_{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con Karbon y GIMP.}