One of the things that aspiring-mathematician kids struggle with when they’re on college, is to get use to the way of thinking that math at that level has. I’m talking about the subjacent logic of math and how we can use it to derive further results.

Let’s take a step back: during our academic life (through elementary and high school), in an average math course, we are taught repeatedly an specific formula or procedure: practice makes perfect, and the success that each one has (and the grade obtained) depends on the easiness with which we can recreate such procedure: summing, subtracting, multiplying, dividing, finding the x, deriving and finding the integral. Everything is reduced to a simple operation, whose result is achieved through a systematic sequence of steps following a preestablished set of rules. We, the mathematicians, don’t do that in our professional life.

It’s frequent that when I tell other people that I’m a mathematician, immediately they remember those school times. Though they don’t say anything, I’m pretty sure they think I’m payed to find an x from a very difficult equation, or to derive a very complex function. Bewildered, however, people just ask me:

What do you do exactly for living?

There are a lot of kinds of mathematicians, but those, as I, that have lived the privilege to do research on pure math, work to formulate a hypothesis, and then we try our best to reject it, prove it, and/or make it profounder.

Think, for example, on a chemist: he observes matter and, starting from those observations, he formulates questions. Then, he designs experiments trying to resolve those questions. Similarly, we mathematicians work. However, our field of study, is math itself, and our lab, a piece of paper and a pencil…at least for the pure mathematicians. Our final objective is to formulate a thesis and then to have an irrefutable proof of that thesis.

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Una de las cosas con las que más batallan los aspirantes a matemáticos al momento de ingresar a la universidad, es acoplarse a la forma de pensar que tenemos nosotros, los matemáticos. Me refiero a la lógica subyacente que hay en las matemáticas, y cómo usarla para la posterior derivación de resultados.

Demos un paso atrás: durante la vida académica de la mayoría, hasta antes de los cursos universitarios o de grado (no sé cómo le llamen en tu país), en un curso de matemáticas promedio, se nos enseña a utilizar una fórmula o un procedimiento de forma repetida: la práctica hace al maestro, y el éxito que cada quién tenga en el curso (y la calificación que obtendrá), dependen mucho de la facilidad con la que podamos recrear dicho procedimiento: sumar, restar, multiplicar, dividir, despejar a x, derivar, integrar, etc. Todo se reduce a una simple operación cuyo resultado ha de obtenerse a través de una sistemática secuencia de pasos, sin salirnos de reglas prestablecidas. Los matemáticos no nos dedicamos a hacer esto.

Es frecuente que cuando le platico a la gente que soy matemático, inmediatamente les venga a la mente sus recuerdos como estudiantes. Aunque no me lo dicen en voz alta, seguro creen que se me paga por intentar despejar una x de una ecuación muy difícil, o intentar derivar una función sumamente compleja.

Desconcertados, sin embargo, solo alcanzan a preguntar, pero qué haces exactamente?

Hay de todo tipo de matemáticos, pero aquellos que hemos tenido el privilegio de dedicarnos a la investigación en las matemáticas puras, nos dedicamos a plantear hipótesis, y luego a intentar o refutarlas, o bien, probarlas y, de ser posible, hacerlas más robustas.

Piensen en un químico, por ejemplo. Él observa la materia. Y, partiendo de sus observaciones, se plantea preguntas. Luego, diseña experimentos intentando contestar esas preguntas. De forma análoga podría decirse que trabajamos los matemáticos. Solo que nuestro campo de estudio, son las matemáticas en sí, y nuestro laboratorio, una hoja de papel y un lápiz…al menos para los matemáticos puros; y nuestro objetivo último es plantear una tesis, y tener una prueba irrefutable de esta tesis.

I’d like to exemplify the last paragraph with some simple stuff of Group Theory (for now it’s not important to explain what this area of math deals with).

It’s common to start with an axiomatic system.

These axioms are the most immediate, intuitive and concise rules that we are going to follow. And as such, we will take them as granted. Hence, my dear reader, if I ask to you: what are the most immediate, intuitive and concise rules that you think numbers follow with their most basic operation: the sum? Well, forget for a moment everything you know about math and suppose that our whole universe concerning numbers is restricted to the following:

As I said, these axioms are the foundations and they will allow us to construct the rest of our mathematical building, and you might be surprised, but there are a lot of things we can say with these simple rules. The mathematicians study math itself, as the chemist studies matter. Thus what questions can we ask following this five simple axioms? What hypothesis could we formulate?

In the third axiom, for example, we could ask, is there another number that obeys the rule? Even if you consider it absurd (remember I told you to forget EVERYTHING you know of math for a moment). Formally, let’s formulate the next

Fortunately, our axioms are concise enough to prove that the existence of such a number is not possible. First, notice that all the previous numbers are restricted to the axioms already stated, including both the evil zero and the original zero:

And this is a contradiction, because in the Hypothesis I said that this number, the evil zero, is different from the original zero! Hence, although, we failed to prove our hypothesis, we can state our first

This is a pretty standard technique that we, mathematicians, use--and you already know it!

We proclaim that something satisfies a proposition, then, we ask ourselves, is this thing unique? To prove that it isn't, we suppose there is another element, different to the first one, and then, through a series of steps using both our axioms as well as the other theorems we already had, we try to prove that this other element is equal to the former, hence a contradiction.

If you don't believe believe me, here is a joke for you to see how much we loooooove to talk about the existence and unicity of things (the former is usually harder to prove than the latter, though):

2 + 2 = ?

Engineer: 3.9968743

Physicist: 4.000000004 ± 0.00000006

Philosopher: "What is the meaning of 2+2?".

Logician: "Please define 2+2 and then you'll have my answer".

Economist: (he closes the door, the windows, and whispering asks): "how much do you want the result to be?"

@alonsomath: "Wait a second, I've proved that the solution exists and that it's unique...now I'm trying to find it at the limit..."

Source

You could practice recreating this same exercise to prove the uniqueness of the numbers in axiom 4, that is, for every a in the integers, there is only a unique number, named -a, such that a+(-a) = 0.

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Quisiera ejemplificar el último párrafo con unas cosas muy sencillas de Teoría de Grupos (por ahora no es importante explicarte mucho sobre esta área de las matemáticas).

Es común empezar con un sistema axiomático.

Estos axiomas son los reglas más inmediatas, intuitivas y concisas que vamos a seguir, y como tales, no las cuestionaremos. Por ello, mi querido lector, si yo te pregunto: cuáles son las reglas más concisas inmediatas y concisas que crees los números deberían de seguir con su operación más básica, la suma? Por un momento olvida TODO lo que sabes de mate y supón que todo nuestro universo numeral se restringe a lo siguiente

Como te dije, estos axiomas serán el fundamento que nos permitirá construir nuestro edificio matemático y, podrías sorprenderte pero, hay muchísimas cosas que se pueden decir y hacer con estas simples reglas. Los matemáticos puros estudiamos las matemáticas en sí, así como el químico estudia la materia. Así que qué preguntas se te ocurren podríamos plantear a partir de estos cinco axiomas? Qué hipótesis podríamos formular?

En el tercer axioma, por ejemplo, podríamos preguntarnos, hay acaso otro número que cumpla esa regla? Aunque creas que es absurdo (recuerda te dije que olvidaras TODO lo que sabes de matemáticas, por el momento). Formalmente, planteemos lo siguiente:

Afortunadamente, nuestro sistema axiomático es lo suficientemente robusto como para probar que no hay cabida para ese otro cero, pues nota que ambos ceros cumplen todos los axiomas que hemos establecido:

Ésta técnica es muy común que nosotros, los matemáticos, utilicemos--y ya sabes cómo usarla!

Decimos primero que algo cumple una proposición. Es muy usual que luego nos preguntamos, es ésta cosa única? Para probar que no, suponemos que existe otro elemento, distinto del primero y, a través de una serie de pasos usando ambos nuestros axiomas, así como los otros teoremas que ya hemos probado, intentamos demostrar que ese otro elemento es igual al primero: una contradicción.

Si no me crees, te pongo un chiste para que veas cuaaaaánto nos encanta a los matemáticos hablar de la existencia y unicidad de las cosas:

2 + 2 = ?

Ingeniero: 3.9968743

Físico: 4.000000004 ± 0.00000006

Filósofo: "¿Qué quiere decir 2+2?".

Lógico: "Defina mejor 2+2 y le responderé".

Economista (cierra puertas y ventanas y pregunta en voz baja): "¿Cuánto quiere que sea el resultado?".

Matemático: "Espere, sólo unos minutos más, ya he probado que la solución existe y es única, ahora la estoy acotando..."

Fuente

Si te interesa, puedes recrear la demostración ahora para probar que los números del axioma 4 también son únicos. Es decir, que para cualquier a en los enteros, existe un único número -a, tal que a+(-a) =0.

Joke explained: the number i is not a real number, and pi is the most famous irrational number.

There are other techniques that we use to prove or disprove other statements, depending on the nature of the problem, and through practice we sharp our mathematical gut to develope a natural ability to detect it ( the nature).

Another thing that we looove to do is to generalize things. For us, is not fulfilling to find something: we try our best to get to the most general case. That field of math that I talked you about (Group Theory), for example, is precisely intended to be a generalization of simple arithmetics: around 200 years of research beneath those simple five rules already explained!!

Because there are a lot of strange things that I could think about right now that will actually satisfy axioms 1-5. For example, let's define the following set with only two "numbers":

See this simple set as the equivalent of the integers, but now we only have two elements: a donkey and an elephant. And now consider the following table:

The way to read the table is pretty straightfwd. Since we only have two elements defining our universe, we must stablish the result of all four possible operations or combinations. Just read first the left side of the table, apply the operation, and then read the top of the table:

donkey + donkey = donkey
donkey + elephant = elephant
...

We could prove that this simple set is a Galois Group (the technical name that a set satisfying rules from 1-5 has), whose zero is the donkey! Hence, all the results and theorems achievable in an abstract and generalized way (e.g., uniqueness of the zero) are true for this simple mathematical object (e.g., uniqueness of the donkey). As I said, the magic of pure math is about generalization.

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Hay muchas otras técnicas que usamos para probar o refutar proposiciones, dependiendo de la naturaleza del problema y, a través de la práctica, vamos afinando nuestro olfato e instinto matemático para detectar hacia qué dirección deben de ir los tiros.

Otra cosa que nos encaaanta hacer es generalizar. Para nosotros, no es satisfactorio encontrar algo: hacemos lo mejor posible para encontrar el caso más general. Ése campo del que te platiqué hace rato (Teoría de Grupos), por ejemplo, es precisamente un campo de las mates que busca generalizar la aritmética: hay alrededor de 200 años de historia investigativa y académica que giran en derredor de esas simples cinco reglas que ya te expliqué!

Porque, amig@ lector@, hay muchísimas cosas locas que se me podrían ocurrir ahora mismo que satisfagan los axiomas 1-5. Por ejemplo, definamos el siguiente conjunto con solo dos "números":

Ve este simple conjunto como el equivalente del que hicimos de los enteros, pero ahora, solo contamos con dos elementos: Maduro y Chávez. Ahora considera la siguiente tabla:

La forma de leer la tabla es muy sencilla. Dado que solo contamos con dos elementos que definen nuestro universo, debemos establecer el resultado de todas las cuatro posibles operaciones o combinaciones. Solo coge un elemento del lado izquierdo de la tabla, aplica la operación, y luego combínalo con uno del lado superior de la tabla:

Chávez + Chávez = Chávez

Maduro + Chávez = Maduro

...

Podríamos probar, de hecho, que este simple conjunto es un Grupo de Galois (el nombre técnico que tiene un conjunto que satisface los axiomas 1-5), cuyo cero, en este caso, sería Chávez! Así, todos nuestros resultados y teoremas que pudiéramos haber dicho en abstracto y de forma generalizada (e.g., a unicidad del cero), son ciertos para este caso muy particular con dos elementos (e.g., unicidad de Chávez). He aquí lo mágico de las mates puras: la forma de generalizar las cosas.

@alonsomath

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