[수학] 골드바흐의 추측 //Feat 영화 페르마의 밀실

beoped (72)in #kr-math • 7 years ago (edited)

이번 포스팅에서는 골드바흐의 추측에 대해서 이야기 해볼까 합니다. 관련 자료로 나무위키, or 위키 에 레퍼런스 등이 잘 정리되어 있습니다. 워낙 유명한 문제라 아는 분이 많을 거라고 생각합니다. ㅎㅎ 사실 꼭 포스팅을 작성해야 할까 하다가 관련 역사를 공부하고 앞으로 제게 부족한 것들이 무엇인지 알기 위해 한번 준비해 봅니다.

먼저 골드바흐의 추측은

2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 소수의 합으로 표시할 수 있다.

짝수는 2의 배수를 말하고 소수는 여러가지 정의가 있습니다만... ㅋㅋㅋ 정수에서 말하는 소수는 1과 자기 자신 외에 소인수분해가 되지 않는 수를 말합니다. [흠 ㅋㅋㅋㅋ 수학을 공부하다 보면 ㅠㅠ 어디에서 정의하는가가 중요해서 ..... 수학자에게 what is prime number? 라고 물어본다면 prime over what ? 이라는 질문을 십중팔구 받게 됩니다;;...]

참 쉬워 보이죠? 이 쉬워보이는 추측은 처음 제안되고 나서 250년이 지난 아직까지도 증명이 되지 않은 문제입니다. 리만가설이 참임을 가정하고 약한(홀수) 버전의 골드바흐 추측을 증명하기는 했는데, 이는 리만가설의 참이 증명되어야 하기에....

일반인에게 가장 유명한 수학 정리 중에는 '페르마의 마지막 정리' 가 있습니다. 이 페르마는 프랑스의 아마추어 수학자였고, 여백의 미를 강조하며 난제를 남기셨죠;; ㅎㅎ.

골드바흐는 독일의 아마추아 수학자였고, 오일러와의 편지를 통해 소수에 관한 추측들을 연구하게 됩니다. 골드바흐가 오일러에게 보낸 편지에는 크게 3가지 추측이 알려져 있습니다.

1 : 두 소수의 합으로 표현 가능한 모든 정수는, 모든 항이 1이 될 때까지 원하는 만큼 얼마든지 많은 개수의 소수의 합으로 분해할 수 있다.

2 : 2보다 큰 모든 정수는 세 개의 소수의 합으로 표현가능하다.

현대적 관점에서 1은 소수가 아니므로 2번 추측은 살짝 수정이 됩니다.

2-renew : 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현가능하다
로 바꾸어 쓰며 이를 짝수 골드바흐의 추측이라고 합니다.

3 : 5보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 표현가능하다.
이 추측은 홀수 골드바흐의 추측이라고 하죠.

짝수 골드바흐의 추측은 홀수 추측을 포함하지만, 그 역은 성립하지 않습니다.

한번 증명해 볼까요?
간단합니다. 먼저 given N 이 홀수이고 5보다 크다고 가정합시다. 홀수에서 홀수를 빼면 짝수가 되죠, 즉 N-3 은 2보다 크거나 같은 짝수가 되죠. 짝수 정리가 참이라고 가정하면 N-3 은 소수 P 와 Q 의 합으로 표현이 됩니다. 즉 N=P+Q+3 으로 세 소수의 합으로 기술이 되는 거죠.

여기서 말하고 싶은 것은, 두 추측 모두 참인지 거짓인지 증명이 아직까지 안됬다는 겁니다. 다시 편지의 이야기로 돌아가 오일러는 해당 편지의 답장으로

2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현가능하다.

를 보냈고 이것이 골드바흐의 원래 추측들을 포함하기에 '골드바흐의 추측'이라고 부르곤 하죠.

제 흑역사를 꺼내보자면, 저는 중학교 1학년 때

이 책을 통하여 골드바흐의 추측 문제를 처음 접했습니다. 제가 읽었던 것은 옛날 책이었는데 이 책도 올해 개정판이 나왔군요. 이 책을 통해 이 문제를 처음 접하고 이렇게 쉬워 보이는 문제가 왜 지금까지 해결되지 않았을까 하며 그 당시 증명 기법으로 알고 있었던 귀류법과 수학적 귀납법을 동원해 이 추측을 증명해 보려고 이리저리 시도하곤 했죠 ㅋㅋㅋ

참고로 골드바흐의 추측과 관련되서 한 30까지의 짝수를 분해해서 손으로 써보면 오 신기하네? 등의 감탄사가 나올겁니다 ㅎㅎ 그 때 한 100까지였나 시도해 보고 어떤 규칙성 같은게 있다고 생각해서 좋아했었는데 ㅋㅋㅋㅋㅋ

이 책의 결말을 통해 삼촌인 페트로스가 결국 골드바흐의 추측을 풀었나 아니냐 를 생각하면서 내가 해보자 하며 학교 도서관에서 펜을 끄적이던 기억이 납니다. ㅋㅋ 혼자서 풀었다면서(?) 기뻐하기도 했었죠;; ㅋㅋㅋ 제가 책을 제대로 이해했다면 저런 말을 할 수 없었겠죠;; ㅋㅋ

수학자들이 이후 어떤 연구를 했는지 살펴 볼까요? 홀수 골드바흐의 추측에 대해선 많은 연구가 되고 있습니다.

일전의 리만가설 포스팅 을 통해 하디를 소개한 적이 있습니다. 1923년 하디와 리틀우드는 리만가설을 가정하고 해석학 기법을 사용해 "충분히 큰 모든 홀수"에 대해서 홀수 골드바흐 추측이 성립하다는 것을 보였습니다.

1930년 Lev Schnirelmann
은 Brun's pure sieve 라고 불리는 Field theory 의 방법을 이용해서

"any natural number greater than 1 can be written as the sum of not more than C prime numbers, where C is an effectively computable constant."

하디와 리틀우드의 결과를 보충했죠. 이 C 라 불리는 상수는 시니렐만 상수라고 불리며, 이제 여기서의 C 가 도대체 얼마냐 란 연구가 시작됩니다.

컴퓨터를 이용해 리만가설의 타당성을 어느정도 확보해 두고, 수학자들은 이 상수 C 가 커봐야 4라는 것을 증명했습니다. 하지만 리만 가설이 제대로 증명이 되지 않았으니... 후에 1990년대에 프랑스 수학자 라마에는 리만가설을 쓰지 않고는 시니렐만 상수가 최소 7까지는 보였고, 2012년 Tao는 이 C가 6까지라는걸 보였죠...

타오에 관해서는 예전 포스팅 을 참조해 주세요. 하 ㅋㅋ 정말 이런 사람들의 논문을 언제가 되야 제대로 이해할 수 있을지 모르겠네요 ㅋㅋㅋ 논문 제목조차도.... 위 타오의 증명은 캡쳐된 초록에서도 알 수 있듯이, 수치해석, 컴퓨터의 도움을 받습니다. 이제 소수 문제들에서 컴퓨터는 엄청난 도구가 되어버렸죠...

짝수는 훨씬 더 어렵고요 ㅎㅎ... 홀수만 알아봤는데도 머리가 아프네요;; ㅋㅋㅋ

정수론과 관련해서 유명한 중국계 수학자들이 꽤 있습니다. 천징룬이라던지 Yitang Zhang 라던지.... 정수론의 대가들이죠, 수업시간에 한번씩 언급 된 적이 있어서 이름만 알고 지나갔네요... 특히 Yitang Zhang 은 쌍둥이 소수 문제에 대해서 여러가지 정리들을 제공한 사람입니다.

여튼 소수는 너무 쉬워보이지만 생각보다 완벽히(?) 증명된 정리들이 많지는 않습니다. 앞에 소개한 책 처럼 골드바흐의 추측을 쌍둥이 소수와의 연관성을 가지고 연구하는 사람들도 있고, 메르젠 수 관련 연구자들도 있다고 합니다. 250년 이상이나 되어 꽤 많은 방법들이 연구되고 있지만 아직도 이 문제는 풀리지 않고 추측으로 남아 있습니다.

언제 풀리게 될지 참 궁금합니다. 또 그 때 까지 얼마나 많은 수학 이론들이 생겨날지 기대가 되기도 하네요 ㅎㅎ

여담으로 영화 '페르마의 밀실' 도 골드바흐의 추측과 관련되 있습니다 ㅎㅎ 참고로 이 영화의 주인공들은 다 이름이 수학자 ㅎㅎㅎ 장르는 추리? ㅋㅋㅋㅋ 네 명의 수학자가 밀실에 갇혀 방을 나오기 위해 여러 문제들을 풀어나가는 그런 내용입니다.

관심있는 분들은 YTN Science 의 youtube 채널에서 줄거리와 관련 내용 설명을 보실 수 있습니다. 바쁘신 분들은 해당 유투브 영상을 통해 영화에서 제공되는 문제와 풀이 그리고 줄거리를 확인할 수 있습니다 ㅎㅎ 사실 영화 자체의 전개가 좀 빠른 속도로 진행되서 영화를 보면서 답을 내는게 쉽지는 않더라구요.

한번 영상을 시청해 보시죠~

[[시네마 수학] 영화 '페르마의 밀실' / YTN 사이언스]]