[수학] 1=0.9999999999999999

오늘 다루려고 하는 주제는 1=0.9땡 의 의미를 살펴 보는 것이다.

중학교 수학 내용인데 사실 고등학교 때 배운 무한등비급수의 개념을 잘 알고 있다면 크게 혼란이 오지 않는 내용이다.

하지만 중학교 친구들은 무한급수의 합을 배우지 않은 상태.. 일단 무한등비급수의 합을 알고 있다고 생각하고 0.9 땡을 전개해보자

이 식의 가장 강력한 점은 0.9 땡이 정확히 1이라는 것이다.

왜 정확히냐, 몇몇 사람들은 0.9 땡은 1보다 작지 않냐고 주장하기도 하는데, 이는 0.9땡의 정의를 제대로 이해하지 못해서이다. 0.9 땡은 9가 유한하게 있는게 아니라 무한하게 있는 것이다.

0.9 땡이 1보자 작다고 하면 0.9 땡에 어떤 수를 더해야 1이 될까? 0.9땡의 9가 유한하다면 우리는 1과 상보적인 수, 즉 더해서 1을 만들 수 있는 수를 생각할 수 있다. 대표적으로 0.9 경우 0.1 이 있을 것이고 0.99 의 경우 0.01 이 있을 것이다. 자 이제 0.9 땡으로 가보자 0.9 땡의 9는 무한하게 유지된다. 이 값이 1보다 작다면, 0.0... 1 이 있다는 것인데 0의 무한대 갯수와 9의 무한대 갯수가 한개이상 차이가 나야 된다. 정수의 무한대 갯수를 구별하는것은 의미가 없는 일이기에 결국 그 상보적인 수는 0.000이 무한개 있는 수 0이 되어버린다.

순환소수는 이런 의미에서 매우 재미있는 수이다.

사실 중학교 교육과정에서

를 보이기 위해선 일단 0.1땡의 정의를 알아야 하는데 여기선 아예 시작부터 0.1 땡을 1/9로 정의한다. [사실 1을 9로 나누면서 이 순환소수 챕터를 시작한다...]

이렇게 시작하면, 쿤 문제 없이 다른 순환소수들을 쉽게 계산할 수 있다.

[ 하지만 순환마디가 생기면 어떨까? 이것도 사실 규칙성이 있다. 1/7 만 해도 142857 이 반복된다. ]

이 순환소수 부분이 중학교 수학에 중요한 이유는 (얼핏 보면 굳이 순환소수는 어떤 분수형태니 굳이 중학교 때 배울 필요가 있냐라고 생각하기 쉽다. 순환소수의 계산은 결국엔 순환소수에 해당하는 분수형태를 찾아 계산하는 것이니까 말이다) 바로 이 순환소수는 무한한 숫자의 합이 유한하다는 것을 알려주는 가장 직관적인 예이기 때문이다.

순환소수는 소수로 표현하면 무한히 많이 적히지만 사실은 유한한 값이다. 여담으로 순환소수의 순환마디에 따른 형태에 대해 OEIS 의 수열에서 검색할 수 있다. ( 관련 글-[수학] OEIS

우리는 무한에 대해 종종 환상을 가지고 있다. 직관적으로 어떤 것을 무한히 더하면 무한대가 될 것이라는 생각이 쉽게 든다. 무한대의 진정한 재미는 이러한 직관이 깨진다는 것이다. 순환소수는 아마 교육과정에서 처음 등장하는 무한등비급수 예제가 아닌가 싶다.