Warum es unendlich viele Primzahlen gibt – ein kurzer mathematischer Beweis
Jede natürliche Zahl hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Natürliche Zahlen sind positive, ganze Zahlen ohne die Null, also 1,2,3,4... . Die Primfaktorzerlegung oder kurz PFZ, ist ein echt cooles Mittel der hohen Mathemeatik, da es einerseits nicht sehr schwer verständlich ist, aber sehr "mächtig" ist. Das heißt es kann sehr schwierige Fragen beantworten wie die Folgende.
Gibt es unendlich viele Primzahlen?
Zuerst das Konzept der Primfaktorzerlegung: Jede Zahl kann in eine Multiplikation von Primzahlen zerlegt werden. Als Beispiel: 134= 2*67 , 20 = 2 * 2 * 5 . Diese Zuordnung von einer natürlichen Zahl zu ihrer PFZ ist eindeutig und vollständig. In normalem Deutsch heißt das: Jede natürliche Zahl hat eine PFZ und es gibt keine zwei Zahlen, die die gleiche Primfaktorzerlegung haben.
Nehmen wir jetzt mal an, dass wir alle Primzahlen kennen. Jetzt multiplizieren wir alle Primzahlen miteinander. Zu dem Ergebnis rechnen wir jetzt +1. Die Zahl, die wir dann erhalten ist nicht teilbar durch die Primzahlen, die wir zu Beginn genommen haben und muss daher eine neue Primzahl sein.
Jetzt fragt ihr bestimmt: "Warum das denn!?" Dafür muss man sich auf die Zahlenreihen, die Primzahlen, bilden beziehen. Die kennt man ja noch aus der Grundschule, für die Primzahl 2 z.B.: 2,4,6,8,10...Eine Eigenschaft von diesen Zahlenreihen ist, dass bei Ihnen immer der direkte Nachfolger(+1) übersprungen wird.
Daher kann der direkte Nachfolger einer Zahl, die in der Zahlenreihe aller bekannter Primzahlen liegt, in keiner Zahlenreihe der bekannten Primzahlen liegen und muss daher in der Zahlenreihe einer neuen Primzahl liegen. Hierbei greifen wir auch auf die PFZ zurück, da sie uns durch ihre Vollständigkeit garantiert, dass der Nachfolger in der Zahlenreihe von wenigstens einer Primzahl liegt, da es eine Primfaktorzerlegung des Nachfolgers geben muss.
Es kann nicht sein, dass man alle Primzahlen kennt und das heißt es muss unendlich viele geben!
Informeller Beweis
Falls ihr den Beweis verstanden habt, Glückwunsch, er ist Pflichtstoff im Mathestudium und da Primzahlen viele Anwendungen in der Informationstechnologie haben, ist er alles andere als trivial.
Ich habe den Beweis absichtlich informell gehalten. Das heißt ich habe einfach nur einen Text geschrieben anstatt mit Formeln zu arbeiten. Ich finds ziemlich genial, dass man das an der Uni machen darf und habe das schon immer gerne ausgenutzt.
wow Dude, mathe - hab ich immer gehasst und so gestehe ich, das ich den beweis nicht verstanden habe und auch nicht werde. mein iq ist, was das angeht, weit unter knäckebrot. als meine eltern mich gewürfelt haben, ging die rechnung wohl auch schon nicht auf :-)
Ich glaube, dass das eigentlich ein Beweis ist den jeder verstehen kann. Den meisten wird nur die Lust an Mathe genommen durch unser verkorkstes Schulsystem.
Würd mich freuen wenn du mir sagen könntest wo das Verständnis bei dir aufhört. Wie gesagt, es gibt Leute die studieren es und raffen es nicht also kein Grund zur unnötigen Scham.
Vielleicht habe ich es auch nur schlecht erklärt. Man könnte die PFZ auch zum Verständnis weglassen, aber es wäre dann nicht mehr ganz "sauber" als Beweis.
so ist es. mir zum beispiel. in der ddr war der unterricht auch nicht gerade innovativ. frontal, dogmatisch, wenig rücksichtsvoll. mir war tatsächlich die lust vergangen. es gab zeiten, wo ich sogar recht gut verstand und in mathe die ein oder andere helle stunde hatte. aber es lag eben viel an den lehrern und der art unterricht. für etwa 1 jahr gab es mal einen tollen lehrer und schwups, der ganze klassenschnitt stieg an.
es gibt so einige lehrer, die es wirklich gut mit einem meinen. die sich dir widmen und sachen mit dir durchgehen, die du nicht verstehst. und doch ändert es nichts daran, das sie kein talent dafür haben, dir den stoff näher zu bringen und richtig verständlich zu machen. es ist oft ein problem von lehrern, das sie nicht verstehen, das andere es nicht verstehen. tja...
Das Problem hab ich leider auch. Deswegen habe ich auch das Lehramtsstudium an den Nagel gehangen :/. Ich will gerne andere zeigen wie toll Mathe und Logik ist, aber ich kann ehrlich gesagt nicht verstehen, wie man das nicht verstehen kann.
Man kann in Mathe immer nach jeder Definition fragen und dadurch alles auf ziemlich simple Bausteine runterschrauben. Und philosophisch gesehen ist die Mathematik, die Suche nach der absoluten Wahrheit, die man tatsächlich auch findet.
Achja vielleicht noch ein Satz zu unserem Schulsystem als solches.
In der Uni fängt man an das man darüber redet warum 1+1=2 ist . Alles wird definiert oder aus den Definition abgeleitet. Dieses Ableiten aus Definitionen nennen wir dann "Beweis". Ein Beweis kann nicht falsch sein wenn er richtig geführt wurde. Beweise gibt es viele und jeder darf seinen eigenen entwerfen, solange der Prof/Korrektor diesen anerkennt.
Mathematik ist eine reine Gedankenkonstruktion. Wie ein Architekt kann man in ihr seine Schlösser bauen. In der Schule schaut man sich nur an, was ein anderer mal gebaut hat und baut es tausende mal nach (Hausaufgaben), fand ich auch öde.
Ich hab da auch eine Anekdote wo ich sauer zum Dozenten gerannt bin weil mein Übungsblatt nicht anerkannt wurde. Die Musterlösung für den Beweis brauchte 3 Zeilen, meine 2. Ich glaube gerade deswegen wollten die Korrektoren nicht wahrhaben, dass mein Beweis OK ist. Der Dozent, den ich bis jetzt als einen der zwei fähigsten Mathematiker ist, die ich je getroffen habe, meinte "Dein Weg is in Ordnung und auch der vernünftigere im Vergleich zur Musterlösung". Man kann bei Beweisen auch von Schönheit sprechen wenn man ganz pervers drauf ist.
Viele Wissenschaften, vor allem Physik, schänden den Begriff des Beweises. Sobald sie zeigen können, dass sie halbwegs zuverlässige Prognosen machen können, sehe sie eine Aussage als wahr an. Das wäre ja auch OK solange sie das nich mit dem Begriff des mathematischen Beweises vermischen würden.
aus abitur-tagen weiß ich von beweisen, weil es schulstoff gewesen ist. wir mussten abschließen mit, "was zu beweisen war". mir wurde es nur irgendwann zu kompliziert und dann gehörte ich auch immer zu denen, die laut fragten, wozu man das denn braucht. kein lehrer konnte mir je eine nachvollziehbare antwort darauf geben. später hatte ich einen freund von der universität, ein mathematiker. er wußte wirklich, wie er mir etwas verständlich machen kann - es war sozusagen ein wunder, wozu ich in der lage gewesen bin. es gibt eben menschen, die können dir was anschaulich begreiflich machen. und auch auf die frage wozu, haben sie eine antwort - nämlich eine ehrliche: du wirst das nicht brauchen, wenn du später nicht dies oder jenes werden willst.
so kommt man selbst auf den trichter, das man sich nur einmal da durchkämpfen muss um dann das ganze wieder zu vergessen. für gute lehrer ist die fähigkeit zum perspektivwechsel der schlüssel! in der lage zu sein, das problem aus der sicht des anderen zu betrachten, ist eine bemerkenswerte eigenschaft - die halt nicht jeder hat.
vllt hätte ich auch einfach mal sagen sollen, dass man für das entdecken einer Primzahl eine gute Stange Geld kriegen kann ;)
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/ziffern-ungetuem-student-entdeckt-bisher-groesste-primzahl-a-276682.html
ja, manchen ist der richtige anreiz der schlüssel :-)
Ich schließe mich Deiner Aussage 100% an, dann muss ich das nicht abtippen :-).
immer gut zu wissen, das man nicht allein mit seinen problemchen ist :-)
Schon cool, was man mit Mathematik alles machen kann. Danke für diese Informelle Info.
Danke fürs Feedback.
Habs auch nicht verstanden.
"Die Zahl, die wir dann erhalten kann keine der Primzahlen sein, die wir zu Beginn genommen haben und muss daher eine neue Primzahl sein" Wieso muss sie eine neue Primzahl sein?
Wir starten mit der Annahme, dass es endlich viele Primzahlen gibt. Also gibt es auch eine größte, nennen wir sie 'n'. Nun multiplizieren wir alle Primzahlen bis einschließlich n miteinander und erhalten so deren kleinstes gemeinsames Vielfaches, 'v'. Nun addieren wir +1 dazu. Dadurch erhalten wir eine neue Zahl, v+1.
Wie du schon richtig festgestellt hast, kann v+1 keine der bekannten Primzahlen sein, weil v+1 ja viel größer ist als jene. Daher gibt es zwei Möglichkeiten:
Wenn aber 1) zutrifft, also, dass v+1 durch eine der uns bekannten Primzahlen teilbar ist, dann ist diese sowohl ein Teiler von v als auch von v+1. Die einzige Zahl, die sowohl v als auch v+1 teilt, ist aber 1 und 1 ist keine Primzahl. Daher wissen wir, dass 1) nicht zutrifft und 2) gilt, v+1 also eine neue Primzahl ist, die wir noch nicht gekannt haben.
(Bsp.: Wir kennen die Primzahlen 2, 3 und 5 und glauben das sind alle. Dann ist 2 * 3 * 5 + 1 = 31. Wir wollen eine Primfaktorenzerlegung von 31 bestimmen, um 1) zu zeigen. Aber 31:2 = 15 plus Rest 1, 31:3=10 plus Rest 1, 31:5 = 6 plus Rest 1. 31 lässt sich also nicht in Primfaktoren zerlegen. Folglich ist 31 eine Primzahl, die wir noch nicht gekannt haben.)
Hast es sehr schön nochmal aufgebröselt. Danke dafür.
Vielen Dank, ich glaub jetzt habe ich es behirnt!
Gerne, das freut mich!
Das hab ich sogar einfach falsch aufgeschrieben. Ist so wie ich es geschrieben habe auf jeden fall falsch formuliert.
Es sollte heißen, "die Zahl, die wir dann erhalten ist nicht teilbar durch die Primzahlen, die wir zu Beginn genommen haben und muss daher eine neue Primzahl sein"