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RE: Warum es unendlich viele Primzahlen gibt – ein kurzer mathematischer Beweis
Habs auch nicht verstanden.
"Die Zahl, die wir dann erhalten kann keine der Primzahlen sein, die wir zu Beginn genommen haben und muss daher eine neue Primzahl sein" Wieso muss sie eine neue Primzahl sein?
Wir starten mit der Annahme, dass es endlich viele Primzahlen gibt. Also gibt es auch eine größte, nennen wir sie 'n'. Nun multiplizieren wir alle Primzahlen bis einschließlich n miteinander und erhalten so deren kleinstes gemeinsames Vielfaches, 'v'. Nun addieren wir +1 dazu. Dadurch erhalten wir eine neue Zahl, v+1.
Wie du schon richtig festgestellt hast, kann v+1 keine der bekannten Primzahlen sein, weil v+1 ja viel größer ist als jene. Daher gibt es zwei Möglichkeiten:
Wenn aber 1) zutrifft, also, dass v+1 durch eine der uns bekannten Primzahlen teilbar ist, dann ist diese sowohl ein Teiler von v als auch von v+1. Die einzige Zahl, die sowohl v als auch v+1 teilt, ist aber 1 und 1 ist keine Primzahl. Daher wissen wir, dass 1) nicht zutrifft und 2) gilt, v+1 also eine neue Primzahl ist, die wir noch nicht gekannt haben.
(Bsp.: Wir kennen die Primzahlen 2, 3 und 5 und glauben das sind alle. Dann ist 2 * 3 * 5 + 1 = 31. Wir wollen eine Primfaktorenzerlegung von 31 bestimmen, um 1) zu zeigen. Aber 31:2 = 15 plus Rest 1, 31:3=10 plus Rest 1, 31:5 = 6 plus Rest 1. 31 lässt sich also nicht in Primfaktoren zerlegen. Folglich ist 31 eine Primzahl, die wir noch nicht gekannt haben.)
Hast es sehr schön nochmal aufgebröselt. Danke dafür.
Vielen Dank, ich glaub jetzt habe ich es behirnt!
Gerne, das freut mich!
Das hab ich sogar einfach falsch aufgeschrieben. Ist so wie ich es geschrieben habe auf jeden fall falsch formuliert.
Es sollte heißen, "die Zahl, die wir dann erhalten ist nicht teilbar durch die Primzahlen, die wir zu Beginn genommen haben und muss daher eine neue Primzahl sein"