Dependencia e independencia lineal de vectores

analealsuarez (53)in #castellano • 6 years ago (edited)

Hoy voy a tratar el tema de la dependencia e independencia lineal entre vectores. Daré las definiciones en cada caso y desarrollaré algunos ejemplos.

Dados los siguientes vectores:

Calculemos un tercer vector v₃ tal que v₃= 3v₁ - v₂
_{Las operaciones que vamos a realizar están explicadas en los siguientes post: De los cuaterniones a los vectores y Producto escalar de vectores}

Desarrollemos

.

De acuerdo al resultado, se deduce que el vector buscado es:

En base a lo anterior se puede concluir que estos tres vectores cumplen con la siguiente relación: 3v₁+v₂ - v₃=0. Por lo cual se concluye que v₃ es combinación lineal de v₁ y v₂. En estos casos decimos que los vectores v₁, v₂ y, v₃ son linealmente dependientes.

Veamos este otro ejemplo:

Sean los vectores:

.

Hallar un escalar c tal que: cv₁=v₂

Desarrollemos:

Estas tres ecuaciones son imposibles de satisfacer simultáneamente para algún c diferente de cero, por lo cual no existe tal escalar c. En este caso decimos que los vectores v₁ y v₂ son linealmente independientes, ya que es imposible conseguir un escalar c tal que cv₁ -v₂=0; en otras palabra, v₁ no es combinación lineal de v₂.

Formalicemos las definiciones.

Definición 1:

El conjunto de vectores v₁, v₂, v₃,..., v_n es linealmente dependiente si existen escalares c₁, c₂, c₃, ..., c_n no todos ceros tal que: v₁c₁+ v₂c₂+ v₃c₃+...,+v_nc_n=0

Definición 2:

El conjunto de vectores v₁, v₂, v₃,..., v_n es linealmente independiente si para que se cumpla la siguiente igualdad v₁c₁+ v₂c₂+ v₃c₃+...,+v_nc_n=0 entonces cada c_i debe ser igual a cero para toda i en en el inntervalo

Volviendo a los dos ejemplos iniciales de este post, particularmente el primero nos da la siguiente relación entre los tres vectores: 3v₁ - v₂ = v₃
Entonces: 3v₁ - v₂ - v₃=0; donde: c₁=3, c₂=-1 y c₃= -1.

De modo que, cómo no todos los c_i son ceros, entonces los vectores v₁, v₂ y, v₃ son linealmente dependientes. En el segundo ejemplo la única manera de que c₁v₁ + c₂v₂=0 se cumpla, es que c₁=c₂=0. En este caso estamos ante dos vectores linealmente independiente.

Generalicemos con el siguiente problema::

Para qué valor o valores de los vectores

son linealmente dependientes.

Para resolver el problema debemos conseguir escalares c₁, c₂ y c₃ no todos nulos tales que:
c₁

+ c₂

+ c₃

Aplicando operaciones con vectores nos resulta la siguiente igualdad:

Aplicando igualdad de vectores obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

El cual consiste en un sistema homogéneo de ecuaciones lineales el cual tiene dos posibilidades para su solución, la trivial o de lo contrario tiene un número infinito de soluciones.

Llevamos la matriz aumentada del sistema a la forma escalonada:

El sistema tiene infinitas soluciones.

Si hacemos que c₃ sea arbitraria entonces los valores de c₁ y c₂ se deducirán del valor que tome c₃.

Esto es:

Y con respecto al valor o los valores de

, será necesario analizar la ecuación que se deduce de la última fila de la matriz aumentada:

Pero c₃ no puede ser cero ya que si lo fuese entonces la única solución del sistema sería la solución trivial

, pero ya vimos que no es así.

Por lo tanto la única opción de que

Es que:

Desarrollando para

Tenemos que:

Con lo cual damos respuesta al problema.

Referencias:
Jagdish C. Arya/Robin W, Larnerd (1992). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.
Seymour Lipschutz (1970). Álgebra lineal. Serie Schaum. McGraw-Hill.
Stanley I. Grossman( 1983) . Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamérica.

La imagen de entrada fue creada con la ayuda de powerPoint.
El resto de las imágenes fueron creadas con el editor en línea de ecuaciones lateX.

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