Dependencia e independencia lineal de vectores

in castellano •  4 months ago

Hoy voy a tratar el tema de la dependencia e independencia lineal entre vectores. Daré las definiciones en cada caso y desarrollaré algunos ejemplos.

portada independencia.jpg

Dados los siguientes vectores:

y

Calculemos un tercer vector v3 tal que v3= 3v1 - v2
Las operaciones que vamos a realizar están explicadas en los siguientes post: De los cuaterniones a los vectores y Producto escalar de vectores

Desarrollemos

.

De acuerdo al resultado, se deduce que el vector buscado es:

En base a lo anterior se puede concluir que estos tres vectores cumplen con la siguiente relación: 3v1+v2 - v3=0. Por lo cual se concluye que v3 es combinación lineal de v1 y v2. En estos casos decimos que los vectores v1, v2 y, v3 son linealmente dependientes.

Veamos este otro ejemplo:

Sean los vectores:

y .


Hallar un escalar c tal que: cv1=v2

Desarrollemos:

Estas tres ecuaciones son imposibles de satisfacer simultáneamente para algún c diferente de cero, por lo cual no existe tal escalar c. En este caso decimos que los vectores v1 y v2 son linealmente independientes, ya que es imposible conseguir un escalar c tal que cv1 -v2=0; en otras palabra, v1 no es combinación lineal de v2.

Formalicemos las definiciones.

Definición 1:

El conjunto de vectores v1, v2, v3,..., vn es linealmente dependiente si existen escalares c1, c2, c3, ..., cn no todos ceros tal que: v1c1+ v2c2+ v3c3+...,+vncn=0

Definición 2:
El conjunto de vectores v1, v2, v3,..., vn es linealmente independiente si para que se cumpla la siguiente igualdad v1c1+ v2c2+ v3c3+...,+vncn=0 entonces cada ci debe ser igual a cero para toda i en en el inntervalo .

Volviendo a los dos ejemplos iniciales de este post, particularmente el primero nos da la siguiente relación entre los tres vectores: 3v1 - v2 = v3
Entonces: 3v1 - v2 - v3=0; donde: c1=3, c2=-1 y c3= -1.

De modo que, cómo no todos los ci son ceros, entonces los vectores v1, v2 y, v3 son linealmente dependientes. En el segundo ejemplo la única manera de que c1v1 + c2v2=0 se cumpla, es que c1=c2=0. En este caso estamos ante dos vectores linealmente independiente.

Generalicemos con el siguiente problema::

Para qué valor o valores de los vectores

, y
son linealmente dependientes.

Para resolver el problema debemos conseguir escalares c1, c2 y c3 no todos nulos tales que:
c1 + c2 + c3 =
Aplicando operaciones con vectores nos resulta la siguiente igualdad:



Aplicando igualdad de vectores obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

El cual consiste en un sistema homogéneo de ecuaciones lineales el cual tiene dos posibilidades para su solución, la trivial o de lo contrario tiene un número infinito de soluciones.

Llevamos la matriz aumentada del sistema a la forma escalonada:
El sistema tiene infinitas soluciones.
Si hacemos que c3 sea arbitraria entonces los valores de c1 y c2 se deducirán del valor que tome c3.

Esto es:
Y con respecto al valor o los valores de , será necesario analizar la ecuación que se deduce de la última fila de la matriz aumentada:

Pero c3 no puede ser cero ya que si lo fuese entonces la única solución del sistema sería la solución trivial , pero ya vimos que no es así.

Por lo tanto la única opción de que
Es que:

Desarrollando para



Tenemos que:

Con lo cual damos respuesta al problema.

separador.jpg

Referencias:
Jagdish C. Arya/Robin W, Larnerd (1992). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.
Seymour Lipschutz (1970). Álgebra lineal. Serie Schaum. McGraw-Hill.
Stanley I. Grossman( 1983) . Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamérica.

La imagen de entrada fue creada con la ayuda de powerPoint.
El resto de las imágenes fueron creadas con el editor en línea de ecuaciones lateX.


Separador ana lealsuarez.jpg

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