De los cuaterniones a los vectores

in castellano •  3 months ago
Hoy voy a tratar el tema de los vectores, inicialmente les voy a hacer un comentario de su origen, que por cierto es bastante reciente; luego se los voy a definir de manera intuitiva, les explicaré sus propiedades y desarrollaré algunos ejemplos.

Comencemos:

El matemático irlandés Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) estaba interesado en la búsqueda de una estructura matemática que le permitiera la representación de objetos en el plano y en el espacio, y en tal sentido se le ocurrió una idea que lo condujo al desarrollo de un tipo de objeto matemático que llamó cuaterniones.

Cuaternión proviene del latín quaterni (por cuatro), su significado literal es "número de cuatro componentes".

Durante muchos años los cuaterniones fueron subvalorados por matemáticos importantes del siglo XIX, argumentaban que tales objetos no tenían utilidad. A finales del siglo XIX el gran físico inglés Lord Kelvin escribió que los cuaterniones “aunque bellamente ingeniosos han sido una desgracia para aquellos que los han tocado de alguna manera, y los vectores… nunca han sido del menor uso para ninguna criatura”.(Grossman, 1983,p. 25)

Pero obviamente Kelvin estaba equivocado, actualmente los vectores son de uso esencial en las diferentes áreas de la ciencia, desde aquellas cuyos objetos son ontológicamente reales hasta aquellas cuyos objetos son ontológicamente pensamentales.

caratulavectores.jpg

Los vectores

En post anteriores hemos estado resolviendo sistemas de ecuaciones lineales y hemos conseguido soluciones : y , pues estos resultados representan vectores.

Un vector se puede definir como un conjunto ordenado de números escritos como:

Fila:

O como

Columna:

Donde recibe el nombre de primera componente o entrada del vector, es la segunda componente, y así sucesivamente.

Observaciones:

  • Es importante destacar que si el vector tiene n componentes lo llamaremos n-vector.

  • Los vectores se denotan mediante letras en negrita, por ejemplo el vector:
    V= (1, 4) es un vector en el espacio bidimensional.
    W=(-1, 3, 6) es un vector en el espacio tridimensional.
    Ambos vectores están escritos como vectores filas, pero pueden ser escritos en columna sin ningún problema. Lo que sí importa, es el orden de colocación de sus componentes, los vectores (1,3) y (3,1) son diferentes.

  • Existe un vector que tiene todas sus componentes nulas, es el vector nulo denotado por 0.

  • Cómo surge un vector:

    Supongamos que un productor fabrica 5 productos: A, B, C, D, y E; y que producir cada uno de ellos le determina un costo diferente; A le cuesta 50, B le cuesta 40, C le cuesta 70, D le cuesta 30, y finalmente E le cuesta 35. Al productor le interesa ordenar esos datos, eso lo puede lograr a través del siguiente vector v=(50,40,70,30,35); como los elementos están ordenados de acuerdo al orden de los productos, entonces al productor se le hace fácil identificar costo de producir cada uno de ellos.

    Propiedades de los vectores:

    1.- Dos vectores v y w (fila o columna) son iguales si tienen el mismo número de componentes, y las componentes correspondientes son iguales.

    1. Suma de vectores:
      Para sumar dos vectores (fila o columna) v y w primero debe verificarse que el número de componentes sea el mismo, de lo contrario es imposible realizar la suma. Si el resultado es sí, es decir, que tienen el mismo número de componentes, entonces se procede a sumar cada entrada del vector v con la entrada correspondiente del vector w,

      Esto es:

      Si v=
      y w=.
      Entonces
      v+w=

    De ahora en adelante, por comodidad trabajamos con los vectores representados en fila.

    Multiplicación por un escalar.

    Si se quiere multiplicar un escalar por un vector v, se multiplica cada componente del vector por el escalar.

    Esto es: =

    Diferencia de vectores.

    Si queremos obtener v-w; se multiplica el vector sustraendo por el escalar -1, y el vector resultante se suma con el vector minuendo.

    Esto es: v-w=v + (-1)w.

    Desarrollo de ejemplos.

    1.-En la fabricación de cierto producto se necesitan cuatro materias primas. El vector representa una demanda dada para cada uno de los cuatro materiales para producir una unidad de su producto. Si , es el vector de demanda para la fábrica 1 y es el vector de demanda para la fábrica 2, ¿que representan los vectores + y 2
    Respuestas:

    + representa la combinación de la demanda dela fábrica con la de la fábrica 2. Esto es, la combinación de las dos demandas.

    2 es la demanda requerida en la fábrica 1 para la producción de 2 unidades de producto.

    2.- Encuentre los números y tales que
    + = 0

    Solución:

    Aplicando suma de vectores se tiene:
    De la igualdad de vectores se deducen las siguientes:

    , , y
    De donde se concluye que:

    , , y


    3.-Sean , y .
    Encuentre un vector v tal que 2a-b+3v=4c
    Solución:

    Primero consideremos que el vector , y planteemos la igualdad siguiente en base a los datos del problema; la cual vamos a desarrollar en base a las operaciones entre vectores:

    De esta manera obtenemos las siguientes ecuaciones, las cuales mediante simples despejes nos permitirán obtener las entradas del vector v

    Luego:

    separador.jpg

    Referencia: Stanley I. Grossman( 1983) . Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamérica.

    La imagen de entrada fue creada con la ayuda de Geogebra clásico
    El resto de las imágenes fueron creadas con el editor en línea de ecuaciones lateX.



    Separador ana lealsuarez.jpg

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    que bueno tu trabajo te felicito

    ·

    Thanks to you.

    Sus trabajos aportan al proceso enseñanza-aprendizaje de un contenido (la matemática) el cual tiene la torpe tradición de ser cruel. Siga usted, @analealsuarez con su pedagógica tarea.

    ·

    Gracias @alexandermoreno. Es grato recibir su reconocimiento.

    Hola @analealsuarez leí detenidamente su articulo y bueno aunque un poquito largo por lo complejo que signifoica destraducir las matemáticas quiero felicitarla por la forma como combino la abastracción con los datos reales que le dan cuerpo a su explicación.

    Hace algunos años quería hacer una ecuación donde pudiera yo hacer una planeación programática musical aprovechando las emociones dando dicha ecuación las variables que representan los géneros musicales y sus innumerables artistas. Solo quería poder conseguir con que intensidad pudiera combinar dichas emociones y variables.

    Pensé que lo podría resolver con alguna derivada, pero leyéndola creo que lo lógico tuvo que ser los vectores.

    Gracias por su aporte. Me gusto. Le recomiendo el Libro: la puerta de los tres cerrojos si no lo ha leído.
    también le dejo este vídeo que quizás le resulte interesante.

    ·

    Gracias @rafagonzalez, pero es que la naturaleza real natural real y social, y lo pensamental siguen una lógica que el pensamiento ha tratado de traducir en reglas para generalizar, y para ello necesita de un lenguaje que le permita abreviar para describir esas reglas, y este lenguaje es la matemática, que, aunque su origen fue simple, ya que se inició como herramienta de conteo para las necesidades del hombre al comienzo de nuestras culturas, se fue complejizando a través de dos vías: la abstracción y la aplicación....
    Gracias por la recomendación. En estos momentos me dispongo a ver el video.



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