Producto escalar de vectores

in castellano •  4 months ago
Cuando multiplicamos un escalar por un vector nos resulta un vector donde cada una de sus componentes ha sido multiplicado por el escalar1. Vemos que es una operación que combina objetos matemáticos de diferentes ámbitos, y que a la final, el resultado pertenece a uno de ellos, en este caso a los n-vectores2.

Pero existe otra multiplicación, otra, en la que los factores son vectores y el resultado es un escalar. Dicho producto recibe el nombre de producto escalar de dos vectores o producto punto, y es el que hoy vamos a estudiar.

producto punto.jpg

Comencemos

Sean a y b dos n-vectores:

y , entonces el producto escalar a.b se define:

Veamos el sigiente ejemplo:

Supongamos que un productor fábrica cuatro productos: A, B, C, D, y E; y que la demanda para los artículos está dada por el vector demanda d=(40,25,35,15). Los precios unitarios para cada artículo están dados por el vector de precios p=( $25, $ 30, $20, $ 40). Si se satisface la demanda para el productor, entonces ¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?

Los vectores en el problema están como vectores filas, los podemos llevar a vectores columnas y aplicar la definición, o los podemos trabajar como vectores filas; aplicamos la definición así:

Este resultado nos dice que el fabricante recibe $3050, si se satisface la demanda.

Propiedades del producto escalar

Sean a, b y c n-vectores y sean y escalares, entonces:

  1. Factor cero: a.0=0
  2. Conmutativa: a.b=b.a
  3. Distributiva: a(b+c)=a.b +a.c
  4. (.a)b=(a.b)

    Es obvia la verificación de que no existe para esta operación, la propiedad asociativa. La misma se deja al lector.

    Veamos el ejemplo siguiente:

    Sea y , desarrollemos el producto escalar:



    Vemos que el resultado es 0, en este caso se dice que los vectores a y b son ortogonales.

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.

Desarrollemos el siguiente ejemplo:
Encuentre los valores y de forma que los vectores a= y b= sean ortogonales.
Apliquemos el producto punto e igualamos a 0:

Entonces los vectores a y b serán ortogonales siempre que se cumpla la relación , donde los valores de dependen de los valores arbitrarios que le demos a .

Notas:
[1] Cuando hablamos de un escalar, nos referimos a un número real. Este término se originó con Hamilton cuando comenzó a definir los cuaterniones.

[2]cuando hablamos de n-vectores, nos referimos a vectores en
separador.jpg

Referencia: Stanley I. Grossman( 1983) . Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamérica.

La imagen de entrada fue creada con la ayuda de Geogebra clásico
El resto de las imágenes fueron creadas con el editor en línea de ecuaciones lateX.



Separador ana lealsuarez.jpg

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