Geometría analítica y Cinemática (Parte X)

En primer lugar mi saludo respetuoso para toda la comunidad académica y científica de steemit, en especial a #stem-espanol, #steemstem, #utopian-io, #curie, #cervantes y #entropia, con su valioso apoyo hacemos posible nuestro crecimiento en todos los aspectos en esta prestigiosa plataforma y además nos permiten destacar la extraordinaria y constante tarea de la ciencia que en muchas ocasiones nos olvidamos de su inmenso e incalculable valor para la existencia de la humanidad.

Continuamos con la temática geometría aquella que junto al lenguaje abstracto del álgebra fortalecen el extraordinario carácter analítico de las matemáticas, cualidad que hemos utilizado para el análisis del esencial nexo entre la grandiosa ciencia física y las indispensables matemáticas. Nuestra ciencia ha demostrado que a través de ella podemos llegar al entendimiento de cualquier tipo de fenómeno presente en nuestro entorno y así lo hemos demostrado durante todos los anteriores análisis con respecto al fenómeno del movimiento, comprobando de esta forma que el campo científico será el eslabón imprescindible de la humanidad para conectarse con nuestro muy complejo universo.

Impresionante han sido los tipos de movimientos analizados hasta el momento entre los cuales encontramos al movimiento circular, parabólico, elíptico, hiperbólico, rectilíneo-curvilíneo, oscilatorio, vibratorio, ondulatorio y caótico, todos ellos representando un claro ejemplo de utilidad y vitalidad tanto para cualquier persona de este planeta como del universo en sí, y en donde cada uno de ellos lograron transitar el lugar geométrico de alguna figura dibujada o graficada por nuestra geometría analítica.

Muchos de estos fenómenos ocurren de manera tanto particular como complemento de algunos de ellos originándose de esta forma una gran variedad de combinaciones de increíbles y esenciales movimientos para nuestro crecimiento y desarrollo en este planeta, en anteriores análisis logramos conocer uno de estos tipos de combinaciones el cual lo denominamos movimiento rectilíneo-curvilíneo, y en donde se encontraron los fenómenos rectilíneos, parabólicos y circulares, es decir, una grandiosa combinación de trayectorias como la línea recta, la parábola y la circunferencia.

En los fenómenos oscilatorios comprobamos que dichos movimientos de vaivén se originan debido a la perturbación de un determinado sistema ya que el mismo pierde su respectiva posición de equilibrio estable, cuando una partícula, cuerpo u objeto desarrollan movimientos repetitivos los mismos lo denominamos periódicos, en donde el período está representado por el intervalo de tiempo necesario para llevar a cabo tales repeticiones, por lo tanto un determinado cuerpo oscilará cuando realice movimientos periódicos con relación a su posición de equilibrio estable.

Debemos resaltar que en los fenómenos oscilatorios encontramos al esencial movimiento armónico simple (M.A.S.) el cual representa el más importante de ellos, también es el más sencillo de representar matemáticamente, esto lo convierte en un vital modelo para dichos fenómenos oscilatorio debido a su extraordinaria aproximación a muchas oscilaciones o vibraciones desarrolladas en nuestro medio natural.

De manera particular un movimiento armónico simple (M.A.S.) juega un vital papel en el análisis de cualquier fenómeno oscilatorio, y el mismo lo podemos encontrar en innumerables fenómenos físicos (resortes con masas, péndulos, circuitos eléctricos, entre otros) ya que este representa la respuesta por parte de nuestro medio natural al estímulo hacia cualquier tipo de sistema que se encuentre en su respectivo equilibrio estable.

Es importante resaltar la relación que existe entre el movimiento circular uniforme (M.C.U.) y el movimiento armónico simple (M.A.S.) ya que entre ambos encontramos una esencial relación matemática, debido a que aquellas ecuaciones que representan un M.A.S. las podemos analizar a través de algunas interpretaciones geométrica poco complejas ya que dicho movimiento lo pudiéramos considerar como una proyección de un movimiento circular a velocidad constante, es decir, uniforme sobre cualquiera de sus diámetros, por tanto mientras que el vector posición se moviliza o gira con velocidad angular (ω), su respectiva proyección hacia un diámetro cualquiera de la circunferencia trayectoria describe un movimiento armónico simple (M.A.S.), esta relación nos permite consolidar algunas características de estos tipos de movimientos armónicos, así como para poder establecer el resultado al superponer dos movimiento armónico simple (M.A.S)., y de esta manera comenzamos a relacionarnos con las combinaciones de estos tipos de fenómenos armónicos.

Al combinar dos movimientos armónicos simples podemos considerar que el movimiento resultante de dos o más oscilaciones armónicas será el resultado de sumar dichas oscilaciones aisladas, por ejemplo, al tener dos ondas cuya dirección y frecuencia son iguales e interfieren originarán una onda que resulta de la suma de las dos ondas que intervienen en la interferencia.

En este artículo analizaremos la combinación de dos movimientos armónicos simples los cuales actúan sobre los ejes X e Y de un plano coordenado y en donde el movimiento resultante estará en dicho plano coordenado, utilizaremos aquellas ecuaciones características para un M.A.S. tanto para el movimiento llevado a cabo sobre el eje X como el desarrollado en el eje Y en función del parámetro tiempo, encontrando que en la combinación de estos dos movimiento armónico simple (M.A.S.) dará como resultado un movimiento con trayectoria rectilínea tomando en cuenta la frecuencia y ángulos de fases iguales, y en el caso cuando la frecuencia de ambos M.A.S. sean iguales pero sus ángulos de fases sean diferentes, obtendremos un movimiento con una trayectoria elíptica.

Seguimos comprobando que la geométrica analítica es parte esencial del fenómeno del movimiento, debido a esos lugares geométricos ofrecidos para el estudio y análisis de los distintos movimientos desarrollados en nuestro amplio entorno, resaltando siempre el maravilloso y abstracto lenguaje de esta ciencia inyectada por el álgebra, brindándole de esta forma el tan esencial aspecto analítico a esta imprescindible ciencia de las matemáticas, la cual ha dibujado o graficado cualquier forma y figura de nuestro espacio.

Cualquier fenómeno relacionado con algún tipo de movilidad siempre o generalmente recorre o transita un determinado lugar geométrico ya que solo de esta manera puede desarrollarse un determinado movimiento, esto claramente lo hemos observado durante el desarrollo de cada uno de los análisis de este tipo de fenómeno, entre los cuales tenemos al movimiento rectilíneo, circular, parabólico, elíptico, hiperbólico, oscilatorio, vibratorio, ondulatorio y caótico donde los mismos requirieron de los lugares geométricos de las figuras tales como la línea recta, circunferencia, parábola, elipse, hipérbola y muchas otras figuras generadas de las anteriores, o lugares geométricos de curvas más complejas como en el caso del movimiento caótico.

Una particular con movimiento armónico simple (M.A.S.) pudimos notar que guarda una importante relación con el movimiento circular uniforme y por lo tanto con la figura geométrica como la circunferencia, pero dicho movimiento de igual forma utiliza curvas periódicas o armónicas como las representadas por la función seno, además por ser el más importante movimiento oscilatorio engloba todas aquellas curvas o porciones de figuras que utiliza cualquier tipo de fenómeno oscilatorio ( vibratorio y ondulatorio).

En cuanto a la combinación de dos movimientos armónicos simples de direcciones perpendiculares y los cuales actúan sobre los ejes de un plano coordenado XY, nos encontramos con movimientos resultantes en dicho plano cartesiano cuya trayectoria puede ser una línea recta, elipse e innumerables curvas denominadas figuras de Lissajous las cuales representan las diversas trayectorias transitadas por una determinada partícula la cual oscila o vibra simultáneamente en relación a dos direcciones perpendiculares entre sí, como podemos observar en la siguiente figura 1.

En la anterior representación gráfica se muestra algunas figuras o curvar aportada por la geometría analítica a la cinemática para expandir el conocimiento del fenómeno del movimiento en pleno, en este caso para el análisis de la combinación de movimientos armónicos simples con direcciones perpendiculares entre sí, en donde se originó un movimiento con trayectoria elíptica, por lo tanto seguimos afirmando que todo el campo científico podrá encontrar en la geometría analítica tanto el lenguaje abstracto como los lugares geométricos de aquellas figuras por donde transita cada partícula, cuerpo u objeto durante la descripción de un movimiento singular como combinado o complejo.

# ***Movimiento armónico complejo*** Al referirnos a un movimiento complejo podríamos expresar que el mismo representa una combinación o mezcla de iguales o diferentes tipos de movimientos particulares o simples, y al referirnos a simples no quiere decir no complejos, debido a que cualquier fenómeno de movilidad siempre tendrá un alto grado de complejidad, complejidad que sin duda aumenta al combinarlos, en artículos anteriores pudimos analizar la combinación de tres diferentes trayectorias recorridas por alguna partícula, cuerpo u objeto en el análisis del movimiento rectilíneo-parabólico-circular o también denominado rectilíneo-curvilíneo.

Uno de los fenómenos más importante para la humanidad lo ha representado el sonido y el mismo podríamos decir que de manera general es originado por distintos tipos de movimientos vibratorios complejos, es decir, por la combinación de movimientos de diferentes direcciones o trayectorias, con la ayuda del teorema de Fourier podemos lograr relacionar cualquier tipo de movimiento vibratorio por muy complejo que este sea con movimientos armónicos simples (M.A.S.), ya que mediante su enunciado podríamos expresar que un determinado movimiento vibratorio con periodo (T) y frecuencia (f) lo podemos expresar a través de la suma de dos a más movimientos armónicos simples.

En esta oportunidad analizaremos la combinación de dos movimientos armónicos simples, recordando que este tipo de movimiento es el de mayor importancia entre los movimientos oscilatorios como lo pudimos notar en cada uno de los análisis realizados en estos fenómenos oscilatorios, en donde encontramos al movimiento vibratorio y ondulatorio para los cuales el movimiento armónico simple (M.A.S.) representó un importante modelo matemático para sus respectivos análisis, dicho modelo además de ser el movimiento más sencillo de expresar matemáticamente representa una muy cercana aproximación de innumerables fenómenos oscilatorios desarrollados en nuestro entorno.

Entre las características más resaltantes de un movimiento armónico simple (M.A.S.) podemos mencionar que el mismo es un movimiento periódico lo cual hace que un determinado móvil alcance la misma posición, así como similares características cinemáticas en intervalos de tiempos iguales, en este tipo de movimiento una determinada partícula, cuerpo u objeto se moviliza de un lado a otro (vaivén) con respecto a un punto de equilibrio estable, por lo que el mismo representa un claro ejemplo de fenómenos oscilatorios, durante dicho movimiento de vaivén de la partícula, cuerpo u objeto alcanza una máxima separación de su respectivo punto de equilibrio al cual denominamos Amplitud (A) y siendo esta magnitud de gran relevancia en cualquier análisis de estos movimientos armónicos simples (M.A.S.).

El movimiento resultante mediante la combinación, superposición o interferencias de dos movimiento armónico simple (M.A.S.), podríamos decir que es sencillamente la suma de dichos movimientos armónicos aislados, cuando hacemos referencia a una interferencia es debido a que estamos describiendo un efecto llevado a cabo al combinar dos fenómenos oscilatorios los cuales se movilizan simultáneamente a través de un determinado medio, por ejemplo, cuando dos ondas que presentan igual dirección y frecuencia se interfieren formarán una onda la cual será representada por la suma de las dos ondas que se interfieren. Es importante tener en cuenta que un desfase entre dos movimientos armónicos simples (por ejemplo, dos ondas) representa la diferencia entre sus fases, dicho desfase puede ocurrir entre dos M.A.S. de cualquier tipo.

En este análisis estaremos considerando la combinación o superposición de dos M.A.S. cuyas direcciones son perpendiculares, y en donde encontramos que las curvas llamadas Figuras de Lissajous representan cada trayectoria adoptada por cualquier partícula, cuerpo u objeto los cuales oscilan paralela o simultáneamente sobre dos direcciones normales o perpendiculares entre sí, resaltando de forma general que en dichas direcciones tanto la amplitud (A) como la frecuencia son diferentes y que además entre dichas oscilaciones puede ocurrir una diferencia de fases.

Al tratarse de dos M.A.S. cuyas direcciones son perpendiculares para mayor comprensión debemos considerar dicho movimiento en un plano rectangular coordenado, en donde la partícula, cuerpo u objeto se moverá en dicho plano por lo que las coordenadas (x) e (y) oscilarán con un M.A.S., por lo tanto como la combinación de los M.A.S. actúa sobre los respectivos ejes coordenados X e Y el movimiento resultante se encontrará en dicho plano (XY), es decir, realizaremos una superposición de dos oscilaciones armónicas que se encuentran en líneas paralelas.

Cada movimiento particular por si sólo representa un vital o esencial fenómeno para la existencia de todo el universo incluyendo claramente el debido funcionamiento de nuestro organismo, así como de todas aquellas actividades relacionadas con la cotidianidad de cualquier ser vivo de este planeta o sistema solar por enmarcar un determinado pero complejo espacio-tiempo, en donde nos desarrollamos y tratamos de adsorber cualquier tipo de conocimiento de nuestra madre naturaleza a través del extraordinario y ejemplar campo de la ciencia.

Los movimientos armónicos simples como se ha descrito anteriormente representan los modelos más importantes y reconocidos entre los fenómenos oscilatorios, podemos reconocer un determinado movimiento armónico cuando notamos que los desplazamientos de una partícula, cuerpo u objeto son provocados por ciertas fuerzas las cuales son directamente proporcionales a tales desplazamientos o recorridos de dichas partículas, cuerpos u objetos, es relevante tener presente que cuando un determinado cuerpo oscila o vibra (con respecto a una determinada posición de equilibrio estable) a través de una única trayectoria dicho fenómeno lo denominamos movimiento armónico simple (M.A.S.) de lo contrario al seguir dos o más trayectorias sería un movimiento armónico complejo o compuesto.

Cuando un determinado objeto se desplaza bien sea a lo largo del eje X o Y, podríamos expresar que el mismo tendrá un movimiento armónico simple cuando su recorrido (en relación a una posición de equilibrio estable) lo realice en función del parámetro tiempo y cuyas ecuaciones serían las siguientes:

En cuanto al período (T) el cual representa el intervalo de tiempo que utiliza un determinado cuerpo para llevar a cabo una oscilación o vibración completa esto en relación a su punto de equilibrio estable y la frecuencia (f) constituye el número de oscilaciones o vibraciones completas con respecto a un determinado tiempo, sus respectivas ecuaciones son las siguientes:

Los movimientos combinados representan aquellos fenómenos que presentan mayor grado de complejidad para su estudio pero lo importante es tener en cuenta que los mismos parten de determinados movimientos bases o particulares como lo representan los fenómenos oscilatorios, en donde encontramos al propiamente movimiento oscilatorio, también al vibratorio como el ondulatorio, encontrándonos con un importante modelo matemático característicos de estos tipos de fenómenos como lo es el movimiento armónico simple.

Las combinaciones de estos tipos de movimientos armónicos simples nos permiten seguir ampliando los conocimientos acerca del fenómeno del movimiento en general, estas combinaciones son posibles realizarlas tanto en una dimensión como en un plano cartesiano rectangular siendo la segunda opción nuestro análisis en este artículo, por lo tanto tales movimientos armónicos actuarán sobre los respectivos ejes X e Y, resultando un determinado movimiento en el plano XY, en donde realizaremos una superposición de dos M.A.S. cuyas direcciones son perpendiculares, es decir superponer dos tipos de oscilaciones armónicas las cuales se encuentran en líneas perpendiculares, como lo podemos observar en la siguiente figura 2.

En relación a la anterior figura podemos expresar que la movilidad de la partícula a lo largo tanto del eje X como del eje Y, la podemos representar con ecuación (1) y (2) antes descritas para un movimiento armónico simple. Cada una de las anteriores expresiones (1) y (2); representan para la trayectoria del movimiento sus ecuaciones paramétricas debido a su relación en este caso con el importante parámetro del tiempo.

En la combinación de movimientos armónicos simples es importante tener presente las características de las magnitudes tales como, amplitud (A), ángulos de fase, frecuencia (f), periodo (T), también nos podemos encontrar con un desfase entre dos movimientos armónicos simples (M.A.S.), en donde el ángulo de desfase (ϕ) el cual será medido en radianes y el mismo resulta de la resta de las fases iniciales de dichos movimientos armónicos simples, es decir, ϕ = δ2 – δ1.

Cuando los ángulos de fases son iguales δ1 = δ2, entonces decimos que ambos movimientos armónicos simples (M.A.S.) se encuentran en fase, por tanto podemos expresar que dos M.A.S. se encontrarán en fase si su respectiva resta o diferencia de fase resulta ser igual a cero (0) o resulta ser un múltiplo entero de 2π radianes, es decir, siguiendo la siguiente relación: δ2 – δ1 = k. 2π ; donde k ϵ Z.

En relación al movimiento resultante de la figura 2, en donde una partícula oscila simultáneamente sobre los ejes coordenados X e Y con movimientos armónicos simples y cuyas frecuencias y ángulos de fases son iguales para estas condiciones tenemos:

Podemos notar que desde el punto de vista de la geometría analítica la ecuación obtenida es la de una línea recta con pendiente positiva, por lo tanto el movimiento resultante de dicha combinación es rectilíneo, como podemos observar en la figura 3.

Para el caso cuando dichos movimientos armónicos presenten frecuencias y ángulos de fases distintos, en donde pudiéramos tener δ1 = 0 y δ2 = π/2 de esta manera tenemos lo siguiente:

Desde la visión de la geometría analítica la ecuación (6) representa la figura de una elipse, para diferencias de fases ϕ = 3π/2 y – π/2 también se obtiene un movimiento resultante con trayectoria elíptica pero en sentido opuesto a las agujas del reloj. Todo modelo matemático nos ayudará a la comprensión de cualquier fenómeno presente en nuestro entorno debido a su extraordinario lenguaje abstracto que hace que cualquier planteamiento lo podamos generalizar con la finalidad de relacionarlos con cualquier otro de similar característica, esto ha convertido a los modelos matemáticos en un verdadero lenguaje universal utilizado por la ciencia en pro de toda la humanidad.

Es importante seguir resaltando la característica de complejidad presente en el fabuloso fenómeno del movimiento y esto lo podemos constatar a diario debido a la inmensa necesidad de todos nosotros hacia la implementación de cualquier tipo de movilidad, ya que son innumerables formas de movimientos que la ciencia física a través de la cinemática en conjunto con la geometría analítica han logrado interpretar para brindárnoslos a todos nosotros para tener mayor amplitud (A) de vida y bienestar social.

El movimiento armónico es uno de los más impresionante fenómenos estudiado por la ciencia física ya que el mismo representa un extraordinario modelo representativo de innumerables fenómenos oscilatorios desarrollado en nuestra naturaleza, su característica principal lo representa el hecho de proporcionalidad entre el desplazamiento de una determinada partícula, cuerpo u objeto con aquellas fuerzas que dan origen a tales desplazamientos.

La composición de movimientos armónicos simples (M.A.S.) nos permite incrementar la utilidad de estos fenómenos, ya que durante la combinación de ellos se originan o dan como resultado otro tipo de movimiento que por lo general resulta de sumar los movimientos involucrados como ocurre cuando dos determinadas ondas que poseen igual dirección y frecuencia interfieren, o la superposición de dos movimientos armónicos simples cuyas direcciones son perpendiculares entre sí, generando extraordinarios movimientos los cuales transitan espectaculares lugares geométricos de figuras como la denominadas de Lissajous.

Los movimientos armónicos complejos generalmente son originados por distintas vibraciones complejas las cuales se generan por la combinación de movimientos con distintas direcciones, podríamos expresar que casi en su totalidad todos los tipos de sonidos son originados por estas vibraciones complejas, por lo tanto sin importar la complejidad de cualquier curva periódica la misma pudiera ser disgregada en indefinidas sinusoides, pero también podríamos decir que la suma de varios movimientos armónicos simples (M.A.S.) con diferentes periodos dará como resultante un complejo movimiento vibratorio.

Para el análisis de este tipo de movimiento complejo son muchas las figuras que la geometría analítica aporta y entre las cuales encontramos desde la esencial línea recta, circunferencia, parábola, elipse, entre tantas otras más representadas por las figuras de Lissajous, en donde todas estas se han convertido en la trayectoria de dichos movimientos complejos armónicos, demostrando de esta manera que la ciencia de las formas y las figuras abstractas es una esencial herramienta aplicada inteligentemente por todo el campo de la ciencia, en especial la física a través de la cinemática.

Para finalizar mis amigos lectores, los fenómenos de movilidad armónica tanto de índole simple como complejos estarán presentes en toda nuestra existencia y que gracias a ciencias como la cinemática y la geometría analítica podemos estar cada vez más cerca en cuanto a la comprensión de nuestro medio natural.

Hasta otra oportunidad mis apreciados lectores de steemit, en especial a los miembros de la gran comunidad de #STEM-Espanol, los cuales reciben el apoyo de otras tres grandes comunidades como los son #steemstem, #utopian-io y #curie, por lo cual recomiendo ampliamente formar parte de este hermoso proyecto, ya que resalta la valiosa labor de la academia y del campo científico, pero sobre todo, por el gran respecto, dedicación y ayuda para sus miembros.

Nota: Todas las imágenes fueron elaboradas usando las aplicaciones Paint, Power Point y el gif animado con la aplicación de PhotoScape.

[1] Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. Décima tercera reimpresión. Editorial Limusa. México, D.F. 1989.

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