Modelado Matemático mediante Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Caso de Estudio: Caída Libre retardada por la Resistencia del Aire (Resolución mediante SCILAB)

in stem-espanol •  5 months ago

En un escenario ideal el movimiento de un cuerpo que cae hacia la tierra puede ser estudiado utilizando las leyes de la mecánica referentes a caída libre, sin embargo, en la realidad intervienen otras fuerzas además de la gravedad que hacen que este movimiento describa un comportamiento algo diferente a lo esperado, una de estas fuerzas es la resistencia del aire la cual influye directamente en la caída del objeto.

esquema.JPG
Imagen N° 1 Fuerzas que intervienen en el movimiento de caída libre retardado por la resistencia del aire. Fuente: Elaboración propia.

En un artículo anterior se estudiaron las ecuaciones que rigen el movimiento de un cuerpo en caída libre, sin embargo, en la tierra cuando un cuerpo cae la gravedad no es la única fuerza que interviene en dicho movimiento, también existe una fuerza denominada resistencia del aire la cual actúa en dirección opuesta al movimiento, en el presente artículo se estudiará un modelo matemático que permite describir el comportamiento de un cuerpo en caída libre cuyo movimiento es retardado por la resistencia del aire.

Para modelar este tipo de movimiento se deben establecer algunos supuestos:

1°- El objeto se desplaza a lo largo de un eje vertical s cuyo origen se ubica en la superficie de la tierra, con dirección positiva hacia arriba.

2°- En el instante de tiempo t=0 la altura del objeto se representa mediante s0 y la velocidad mediante v0.

3° - En el movimiento del objeto que cae solo intervienen dos fuerzas, la fuerza de gravedad de la tierra y la fuerza de resistencia del aire que actúa sobre el objeto en caída.

Desde la perspectiva de la dinámica del movimiento de caída libre retardado por la resistencia del aire, las fuerzas totales que actúan sobre el objeto son equivalentes a la sumatoria de la gravedad y la resistencia del aire, lo cual matemáticamente se expresa como:

img1.png

Para calcular la fuerza debida a la gravedad se debe recordar lo que establece la segunda ley de Newton:

SEGUNDA LEY DE NEWTON


Si un objeto con masa m está sujeto a una fuerza F, entonces el objeto experimenta una aceleración (a) que satisface la ecuación

img2.png

Por lo tanto, como un objeto sometido a una gravedad g experimenta una aceleración igual a –g (recordando que se definió la dirección positiva hacia arriba), se cumple que:

img3.png

Que al sustituir en la ecuación 1

img4.png

Debido a que la posición del objeto se expresa en función del tiempo se puede establecer la función de posición como s(t), en base a esta función se cumple que la primera derivada permite calcular la velocidad del objeto en un instante de tiempo dado, es decir:

img5.png

Y la segunda derivada permite calcular la aceleración en función del tiempo es decir:

img6.png

Recordando la segunda ley de newton se puede establecer que la fuerza total que actúa sobre el cuerpo es igual a su masa (m) multiplicada por su aceleración a(t):

img7.png

Sustituyendo esta expresión en la ecuación número 2

img8.png

En relación a la resistencia del aire existen diversos modelos físicos para explicar su comportamiento, muchos de estos modelos asumen que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad a la que cae el objeto:

img9.png

El valor de la constante de proporcionalidad c depende de diversos factores tales como la forma del objeto y las propiedades del aire. El signo negativo se utiliza debido a que la resistencia del aire actúa en dirección opuesta al movimiento del objeto (En el marco de referencia que se ha definido la velocidad del objeto cuando cae es negativa por lo que el valor de Fr será positivo), al sustituir está expresión en la ecuación número 3 se obtiene:

img10.png

Considerando que la aceleración es equivalente a la primera derivada de la velocidad se cumple que

img11.png

Al dividir esta expresión entre m

img12.png

Reordenando

img13.png

La cual es una Ecuación Diferencial Ordinaria de 1° orden lineal, de la forma

img14.png

Donde v=v(t), p(t)=c/m y q(t)=-g, en general el coeficiente de resistencia al aire c suele determinarse de forma experimental para cada objeto, por lo tanto, se asumen m,g y c como constantes conocidas, debido a que en el instante de tiempo cero la velocidad inicial es v0 el proceso para obtener la función de velocidad consiste en resolver el problema de valor inicial:

img15.png

Esta Ecuación Diferencial Lineal de 1° Orden puede resolverse mediante el método del factor de integración, en primer lugar se calcula el factor de integración con la siguiente fórmula

img16.png

Se multiplica la ecuación diferencial por el factor de integración

img17.png

Lo cual matemáticamente es equivalente a

img18.png

Integrando ambas expresiones en función de t se obtiene

img19.png

O expresado de forma más adecuada

img20.png

Para encontrar la solución particular al problema de valor inicial planteado se debe sustituir la condición inicial v(0)=v0

img21.png

Se sustituye el valor de la constante de integración en la solución general al problema de valor inicial (Ecuación 4)

img22.png

Esta expresión permite calcular la velocidad del objeto que cae en función de la gravedad, la masa del objeto, La velocidad inicial a la que es lanzado, la constante de resistencia del aire del objeto y el tiempo que lleva cayendo. Para un objeto que cae con v0=0 se cumple que:

img23.png

También se puede apreciar que para un objeto en caída cuando el tiempo t tiende a infinito la velocidad tiende al siguiente límite

img24.png

Por lo cual se puede establecer que la velocidad de caída tiene un límite a partir del cual no puede aumentar más (Muy diferente a lo que pasa en caída libre en la cual la velocidad puede aumentar indefinidamente), esta velocidad suele denominarse velocidad terminal y viene dada por el resultado del límite anterior:

img25.png

De igual forma también se podría hablar de rapidez terminal, la cual representa la rapidez a la que cae el objeto (la cual tiene la misma dimensión que la velocidad pero no su carácter vectorial, en este sentido es siempre positiva).

img26.png

Se puede evidenciar que la ecuación para la velocidad

img27.png

Puede expresarse en términos de la rapidez terminal

img28.png

Como

img29.png

Ahora bien, si se desea determinar la función que describe la posición del cuerpo en caída se debe tener en cuenta que la primera derivada de la función posición se corresponde con la función velocidad, es decir:

img30.png

Adicionalmente se sabe que en el instante de tiempo 0 el cuerpo en caída tiene una posición s0

img31.png

Estableciendo el siguiente problema de valor inicial

img32.png

Remplazando v(t) por la ecuación 7

img33.png

Que puede resolverse al integrar ambos lados en función de t

img34.png

Al sustituir la condición inicial s(0)=s0 se obtiene

img35.png

Al sustituir este valor para la constante de integración en la ecuación 8 se obtiene

img36.png

Esta última expresión permite calcular la posición de la partícula en un instante de tiempo t.

Ejemplo:



Imagen N° 2 Paracaidista en caída libre retardada por la resistencia del aire, imagen de dominio público, Licencia CC0, disponible en este enlace.

Un paracaidista con equipo completo pesa 120 Kg y cuando se lanza del avión tiene una rapidez terminal de 36 m/s con el paracaídas cerrado y de 7,2 m/s con el paracaídas abierto, suponiendo que el paracaidista salta desde el avión a una altitud de 3.000 metros, cae durante 30 segundos con el paracaídas cerrado y después abre el paracaídas continuando así hasta llegar al suelo.

a) Asumiendo que la velocidad vertical inicial del paracaidista es cero. Determine la velocidad vertical y la altitud en el momento en que se abre el paracaídas.

b) ¿Cuánto tiempo tarda el paracaidista en caer?


Solución Parte a)

Con el paracaídas cerrado la función de posición (Ecuación 9) asume los siguientes valores

img37.png

Sustituyendo t=30

img38.png

En relación a la velocidad en ese instante de tiempo (Ecuación 7) se cumple que

img39.png

Es decir, en el segundo 30 momento en el cual se abre el paracaídas, el paracaidista se encuentra a 2052,207346 metros de altitud y cae con una velocidad de 35,98977 metros/segundo, a partir de aquí y asumiendo w el tiempo transcurrido desde que se abre el paracaídas, la función de posición viene dada por

img40.png

Solución Parte b)

Para determinar el instante de tiempo en el que el paracaidista toca el suelo, se deben sumar los 30 segundos en los cuales el paracaidista cae con el paracaídas cerrado más el valor de w para el cual s(w)=0, es decir, la altura es igual a cero

img41.png

Para resolver esta ecuación se utilizará el Método de Newton-Raphson el cual se basa en ir iterando en base a la siguiente fórmula:

img42.png

La primera derivada de la función de posición es:

img43.png

una vez que se conocen las funciones s(w) y s’(w) se toma un valor de inicialización para el método, por ejemplo w=0 y se procede a iterar hasta encontrar la solución, en el presente artículo se utilizó el siguiente script en el Software Libre Scilab 5.5:


//******************** Licenciado Ysmael González ********************
//******************** STEM-ESPANOL ********************
//******************** MÉTODO DE NEWTÓN ********************
function [dd]=decimales(num, dec)
num=abs(num);
if(num<1)
ee=0;
else
ee=int(log10(num));
end
if(dec-ee>0)
dd=dec-ee;
else
dd=1;
end
endfunction
function newton()
//LECTURA DE LOS DATOS POR TECLADO
fx=input("Ingrese la función: ","s");
fx = strsubst(fx, "^", ".^");
dfx=input("Ingrese la derivada de la función: ","s");
dfx = strsubst(dfx, "^", ".^");
x0=input("Ingrese el valor de X0: ");
err=input("Ingrese el error porcentual(1-100): ");
dec=input("Ingrese el numero de decimales con los que desea trabajar: ");
//SE DEFINE LA FUNCION
funcprot(0);
deff("y=f(x)","y="+fx);
deff("y=df(x)","y="+dfx);
xn=x0;
it=-1;
errAprox=1000;
esp=" ";
for i = 1:dec
esp=esp+" ";
end
encabezado="\n\nIt."+" Xn"+esp+"F(Xn)"+esp+"F´(Xn)"+esp+"Xn+1"+esp+"Err\n";
printf(encabezado);
while(errAprox>err & it<=5000)
fxn=f(xn);
dfxn=df(xn);
xnueva=xn-(fxn/dfxn);
it=it+1;
errAprox=100*abs((xnueva-xn)/xnueva);
if(it<10)
cadena="0";
else
cadena="";
end
//cadena=cadena+"%i %f"+" %f"+" %f"+" %f"+" %f\n";
//cadena=cadena+"%i %."+string(dec)+"f"+" %."+string(dec)+"f"+" %."+string(dec)+"f"+" %."+string(dec)+"f"+" %."+string(dec) +"f\n";
cadena=cadena+"%i %."+string(decimales(xn,dec))+"f"+" %."+string(decimales(fxn,dec))+"f"+" %."+string(decimales(dfxn,dec))+"f"+" %."+string(decimales(xnueva,dec))+"f"+" %."+string(decimales(errAprox,dec))+"f\n";
printf(cadena,it,xn,fxn,dfxn,xnueva,errAprox);
xn=xnueva;
end
if(it>5000) then
printf("\nSe han superado las 5000 iteraciones");
elseif(isinf(xn)) then
printf("\nEl método de Newton diverge para la funcion y el valor de X0 dado");
elseif(isnan(errAprox)) then
printf("\nEl método de Newton diverge para la funcion y el valor de X0 dado");
else
printf("\nla raiz es: %."+string(dec)+"f\n",xn);
end
endfunction
newton();

Obteniendo el siguiente resultado

scilab2.JPG
Imagen N° 3 Salida del programa en Scilab 5.5. Fuente: Elaboración propia.

Como se puede observar en la salida del programa el paracaidista tarda w=282,091066 Segundos en caer una vez que abre el paracaídas, sumando este tiempo a los 30 segundos previos con el paracaídas cerrado, el tiempo total que tarda el paracaidista en caer es de:

img44.png

Es decir, aproximadamente 6:12 minutos, gráficamente la caída del paracaidista puede observarse en la siguiente imagen.

grafica.JPG
Imagen N° 4 Gráfica de la caída del paracaidista en función del tiempo. Fuente: Elaboración propia.

El lector se preguntará porque la gráfica de la caída tiende a ser una línea recta, esto se debe a que una vez que el paracaidista se aproxima la velocidad terminal (lo cual sucede en poco tiempo) su velocidad es prácticamente constante, por la tanto su caída se representa en este punto mediante una expresión que se aproxima mucho a una función lineal.

CONCLUSIONES


  1. El movimiento en caída libre de un objeto se basa en leyes de la mecánica que son conocidas desde la antigüedad, en las que solo se considera como fuerza que actúa sobre el objeto la gravedad.
  2. Al modelar la caída de un objeto retardada por la resistencia del aire su puede apreciar la existencia de un límite en la velocidad (velocidad terminal) lo cual es consistente con los datos que se observan en la práctica (por ejemplo en la caída de un paracaidista).
  3. La gráfica de la altitud del cuerpo que cae en función del tiempo tiende a tener forma lineal debido a la existencia de una velocidad terminal que sirve de límite en la velocidad vertical de caída.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y LECTURAS RECOMENDADAS


  1. Anton, Bivens y Davis (2010), Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. 2da edición Editorial Limusa Willey.

  2. Resnick, Halliday y Krane (1993), Física. 3ra edición Compañía Editorial Continental México Volumen 1.

  3. Saenz (2009), Cálculo Integral con Funciones Trascendentes Tempranas para Ciencias e Ingeniería. 2da edición Editorial Hipotenusa.

  4. Sauer (2013), Análisis Numérico. 2da edición Editorial Pearson.

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Que bien como modelaste la ecuaciones diferenciales ordinarias en Scilab, tengo un trabajo que quería montar sobre Modelado matematico de arreglo de tanques en la parte de fluido pero ando aprendiendo usar scilab no estoy tan experto

·

Ok, es un programa bastante interesante en el que se pueden hacer muchas cosas.

Este fenómeno es tan cotidiano que la mayoría de las personas no le pone atención, pero tu visión desde el punto de vista matemático me devuelve a estudiar los orígenes de la caída libre y puedo verlo desde otra óptica, te felicito @ydavgonzalez.

Buena aplicación del software.

Saludos @ydavgonzalez. Me gustó el esquema utilizado para presentarnos la información, que por demás valiosa para comprender sobre las fuerzas y la la resistencia. Comenzaré a seguir tus trabajos.

·

Gracias por el apoyo.

Muy interesante @ydavgonzalez, no sabía que además de la gravedad, la resistencia del aire influía en la velocidad de caída de un objeto, gracias por educarnos.

·

Así es @elvigia, gracias por el apoyo.

Hola @ydavgonzalez, te doy el voto, es bien tu trabajo de caída libre, tremendo esfuerzo en colocar las ecuaciones y las soluciones de las ecuaciones. Te sugiero que el codigo coloques una tilde ~ al principio y al final, para que se vea en forma de codigo. Te felicito

·

Ok, gracias por el apoyo.

Muy bueno el modelado de caída libre con resistencia del aire. El metodo de Newton-Raphson para resolver la ecuación transcendental de la parte b del problema, honestamente no lo conozco, en estos tipos de problemas usábamos la serie de Taylor para aproximar el exponencial y luego asi despejar la variable, gracias por la información y felicitaciones por tu trabajo @ydavgonzalez , saludos

·

Es un método bastante sencillo y eficiente, saludos @joseg.

Siempre habia pensado que en la caida libre la masa no afectaba la velocidad, ni el tiempo del objeto en estudio. En tu análisis sobre la ecuación 5 dice que si. Muy interesante. En el ejercicio propuesto un dato es la masa del paracaidista. Aunque luego no es utilizado. En todo caso te felicito. Investigare más sobre el tema. SALUDOS

Felicidades. Tienes razón, cuando daba este tema a mis estudiantes a nivel de tercer año no se tomó en cuenta la resistencia del aire. ¿Cómo se tocaria ese punto a este nivel?

·

Con un modelo matemático como el discutido en este artículo.

Hi @ydavgonzalez!

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