Aplicación del Sistema de Álgebra Computacional wxMaxima en la solución de problemas sobre Caída Libre

En un artículo anterior se abordo el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A) y el proceso de deducción de sus fórmulas generales, uno de los ejemplos más comunes de este tipo de movimiento lo representan las partículas que se encuentran cayendo hacia la tierra.

Respecto a este movimiento es importante mencionar lo que señalan Resnick, Halliday y Krane (1993)

“Todos los cuerpos, independientemente de su tamaño, forma o composición caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie terrestre”

Este tipo de movimiento es lo que se conoce como caída libre, en cuanto a la aceleración a la que caen los cuerpos se denomina gravedad, cerca de la superficie terrestre la magnitud de la gravedad es de 9,8 m/s².

Teniendo en cuenta las fórmulas que se aplican para el M.R.U.A.

Sustituyendo a por el símbolo de gravedad g se obtiene

Asumiendo que el cuerpo empieza a caer desde el reposo, es decir, con velocidad inicial 0 se cumple que

Para determinar cuánto tarda un cuerpo en impactar contra la superficie cayendo desde una altura h simplemente se sustituye la distancia recorrida por la altura desde la cual cae y se despeja t en

Fórmula para calcular el tiempo que tarda en caer un cuerpo en caída libre desde una altura h

Esta expresión permite calcular cuánto tiempo tarda en caer un cuerpo en caída libre partiendo del reposo, para calcular la velocidad final a la que llegará al suelo se sustituye el tiempo que tarda en caer el cuerpo en la fórmula de velocidad

Fórmula para calcular la velocidad final de un cuerpo en caída libre desde una altura h

Con esta expresión se puede calcular la velocidad final a la que impactará el objeto en el suelo. Para determinar la altura a la que se encuentra el objeto en un instante de tiempo t se procede a calcular la diferencia entre la altura a la que se dejo caer el objeto y la distancia recorrida

A continuación se usará un Sistema de Algebra Computacional (WxMaxima) para ejemplificar el cálculo de la altura y velocidad de un objeto en caída libre desde una altura de 1000m, analizando cómo cambian los valores segundo a segundo. El código del Script en wxMaxima sería el siguiente:

fpprintprec:5$
g:9.8$
t:0$
h:1000$
ht:h$
print("")$
while ht>0 do
(
ht:h-(gt^2)/2,
vt:gt,
if ht>0 then
print("Tiempo = ",t,"Seg Altura: ",ht,"m Velocidad: ",vt," m/Seg2"),
t:t+1
)$
tf:sqrt(2h/g)$
vf:tfg$
print("")$
print("")$
print("Velocidad final= ",vf,"m/Seg Tiempo final= ",tf," Seg")$


---

Script Caída Libre mostrado en wxMaxima --- Fuente: Elaboración propia

El script mostrado anteriormente produce la siguiente salida:

Salida del Script Caída Libre en wxMaxima --- Fuente: Elaboración propia

En la imagen anterior se puede observar como evolucionan la velocidad y la altura del objeto que cae segundo a segundo, el incremento de la velocidad es constante y corresponde en este caso con la gravedad del planeta tierra.

Aplicando las fórmulas para determinar el tiempo que tarda en caer el objeto y la velocidad de impacto

Lo cual coincide con los resultados obtenidos por el script de wxMaxima. Desde la perspectiva del cálculo diferencial se puede demostrar que la razón de cambio de la distancia recorrida por el objeto que cae corresponde con la ecuación de la velocidad

Evidentemente la derivada de la velocidad en función del tiempo se corresponde con la aceleración, es decir, la gravedad

Finalmente un hecho notable es que aunque las ecuaciones que rigen el comportamiento de los objetos en caída libre se pueden aplicar con resultados aceptables en la tierra, la resistencia del aire afecta a este tipo de movimiento produciendo variaciones en los valores reales dependiendo de la forma y masa de los objetos que caen, sin embargo, en un satélite como la Luna en que la atmósfera es prácticamente nula una pluma y un martillo que se dejan caer desde cierta distancia caerían en el mismo tiempo tal como se puede apreciar en el siguiente vídeo grabado por la tripulación del Apolo 15 en 1971

Fuente

Referencias Bibliográficas

-> Física (1993) Resnick, Halliday y Krane 3ra edición Compañía Editorial Continental México Volumen 1 pág. 28.