EL MUY INTERESANTE PROBLEMA DE LA BRAQUISTOCRONA
Saludos Steemians amantes de las ciencias y a todos aquellos a los que les causa mucha curiosidad. En este post les presento un problema clásico de la Mecánica que suele sorprender a los estudiantes cuando se le es presentado en clases. Se trata del Problema de la Braquistócrona. La palabra Braquistócrona viene del griego Braquistos = "el más breve" y Cronos= tiempo. Este problema fue resuelto por primera vez por Johann Bernoulli en 1696. Su solución involucra la inevitable aplicación del cálculo integro-diferencial.
que se desplaza sobre una rampa lisa desde el punto 
hasta el punto 
(Esta imagen fue hecha por mi persona @tsoldovieri, usando la aplicación PAINT).Steemians, pongamos atención a la figura 1. En esta figura se muestra una rampa lisa sobre la cual, y desde el punto , se suelta una partícula de masa 
que comienza a moverse bajo la acción de la gravedad. El punto se encuentra a una altura 
sobre el suelo, mientras que 
se encuentra a nivel del mismo a una distancia horizontal 
.
Hagámonos en este momento, mis estimados Steemians, la siguiente pregunta: ¿qué forma debe tener el perfil de esta rampa de manera tal que la mencionada partícula emplee el menor tiempo posible en viajar desde hasta ?. Después de leer la anterior pregunta, muy seguramente, muchos de los Steemians respondieron: ¡obvio!, es la recta. Pues, increíblemente, no lo es y por esta razón suele sorprender a los estudiantes a los cuales se les presenta. La respuesta a la anterior pregunta la dio, por primera vez, Johann Bernoulli (matemático, médico y filólogo suizo 1667 - 1748) en 1696.
Como se muestra en la figura 2, el perfil pedido será la curva 
que une con de manera tal que el tiempo que emplea la partícula en viajar desde hasta sea el menor posible. Si se escoge un sistema de coordenadas de referencia cuyo origen coincide con el punto , entonces 
y 
.
Primeramente, Steemians, encontremos la expresión matemática que nos permite calcular el tiempo. Puesto que el campo gravitacional es conservativo, entonces la energía mecánica total 
de la partícula se mantiene constante durante todo el recorrido. En el punto 
se tiene 
(
es la energía cinética y 
la energía potencial) y en cualquier otro punto 
se cumple que,
de la cual resulta que la velocidad 
de la partícula es,
Por otro lado se sabe que,
donde 
es el recorrido de la partícula sobre la rampa. Entonces el tiempo 
vendrá dado por,
de donde,
en la que se ha escogido 
como variable independiente y 
como dependiente. Aquí 
. Esta es la expresión que nos proporciona el tiempo empleado por la partícula en ir de hasta . Ahora bien mis estimados Steemians, si de aquí pudiésemos encontrar a tal que 
sea el mínimo posible, estonces resolveríamos el problema.
En realidad sí podemos minimizar (5) empleando la llamada Ecuacion de Euler que debe su nombre al matemático suizo Leonhard Euler 1707 - 1783, la cual es dada por la expresión,
donde 
es el integrando de (5), es decir,
Entonces, al sustituir (7) en (6) resulta,
donde 
es una constante de integración y de la cual se obtiene que,
Al ser integrada la anterior ecuación diferencial resulta,
con 
una constante de integración. Ahora, al hacer el cambio de variable (el signo - es por el sistema de coordenadas de referencia usado),
la expresión (10) se puede escribir ahora como,
con 
una constante de integración y donde se ha escogido el signo + para en correspondencia al sistema de coordenadas de referencia usado. De aquí que,
en la cual 
. Como al inicio del movimiento 
, entonces de (11) se obtiene 
y de (13) 
. De esta manera, en conjunto, las expresiones (11) y (13) pueden escribirse como,
donde,
hasta 
en el menor tiempo posible (Esta imagen fue hecha por mi persona @tsoldovieri, usando las aplicaciones MAPLE 12 y PAINT).que representan las ecuaciones paramétricas de una Cicloide invertida que pasa por el origen (ver figura 3). Una Cicloide es el lugar geométrico originado por un punto de una circunferencia (generatriz) al rodar sobre una línea recta (directriz), sin deslizarse. Este es el perfil que debe tener la rampa para que la partícula se mueva de hasta en el menor tiempo posible (ver figura 4). Esta curva recibe el nombre de Curva Braquistócrona o curva del descenso más rápido.
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La constante 
debe ser ajustada para permitir que la cicloide pase a través del punto de llegada . En efecto, al evaluar las expresiones (13) en se obtiene,
entonces, al sustituir una expresión en la otra resulta,
expresión que proporciona el ajuste de la constante 
.
Una Curva Tautócrona o Curva Isócrona (de los prefijos griegos tauto- que significa mismo o iso- igual, y chrono tiempo) es la curva para la cual el tiempo tomado por un objeto que desliza sin rozamento en gravedad uniforme hasta su punto más bajo es independiente de su punto de partida. La Esta curva Curva Braquistócrona (14) coincide con ésta con la Tautócrona ya que si se colocan varias partículas sobre ella en distintos puntos de partida y se les suelta al mismo tiempo, llegan a encontrarse al mismo tiempo en un punto posterior, es decir, tardan el mismo tiempo en alcazar una posición común (ver figura 5).
BIBLIOGRAFIA QUE PUEDES CONSULTAR PARA AMPLIAR CONOCIMIENTOS
Soldovieri C., T. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. Preprint, 2017. http://www.cmc.org.ve/tsweb.
Soldovieri C., T. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. Preprint, 2017. http://www.cmc.org.ve/tsweb.
Elsgoltz, L. ECUACIONES DIFERENCIALES Y CALCULO VARIACIONAL. Editorial MIR, Moscú, 1969.
Krasnov, M. L. , Makarenko, G. I. & Kiseliov, A. I. CALCULO VARIACIONAL. Editorial MIR, Moscú, 1992.
Lanczos, C. THE VARIATIONAL PRINCIPLES OF MECHANICS. University of Toronto Press, 1952.
Kot, M. A FIRST COURSE IN THE CALCULUS OF VARIATIONS. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2014.
Arfken, G. B.; Weber, H. J. & Harris F. E. MATHEMATICAL METHODS FOR PHYSICISTS: ACOMPREHENSIVE GUIDE. Elsevier Inc., 7th edition, 2013.
Espero que la anterior información les sea de mucha utilidad. El siguiente post tratará sobre el pulso, tren de ondas, frente de onda, rayo y la descripción de la propagación de una onda.
Hasta mi próximo post. ¡Saludos a todos! 😁.
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Thanks!.
Chamo, odio las derivadas y los integrales... pero no hay que negar que esta interesante... te felicito por tus conocimientos!
Excelente mi estimado @tsoldovieri
En esta publicación se mezclan varios puntos claves para las ciencias: la física, las matemáticas, la experimentación, los fenómenos de la naturaleza, los investigadores, etc.
Buen trabajo!
Muchísimas gracias por tu comentario y apoyo @iamphysical. Siempre estaré publicando posts de calidad para contribuir con la comunidad. Saludos!.
Muy interesante hermano, lo felicito. Saludos.
Muchas gracias por tu comentario y apoyo hermano @rnunez09. Saludos!.
Bastante entretenido la verdad , muy bueno el aporte , este concepto de "la distancia mas corta " tiene una gran aplicación en aeronáutica , donde esta demostrado que las geodésicas dada la superficie esférica de la tierra, no son rectas en la mayoría de los casos. Saludos , buena explicación
Muchísimas gracias por tu excelente comentario y apoyo @vjap55. Si, las geodésicas son las curvas más cortas y, en el caso del plano, se convierten en las rectas. Ya te estoy siguiendo. Sígueme si es de tu agrado. Saludos!.
Excelente trabajo amigo @tsoldovieri, muy educativo. Saludos!
Muchas gracias por tu comentario y apoyo amiga @ufv. Saludos!.
buen post @tsoldovieri.
Muchas gracias @atheneav. Ya te estoy siguiendo. Sígueme, si es de tu agrado. Saludos!.
Hermano, excelente post sobre el problema de la braquistócrona. ¡Gracias por compartirlo! ¡Saludos!
Gracias mi perijanero hermano @hugobohor. Gracias por tu comentario y apoyo. Saludos.