ESTUDIO DEL AMORTIGUAMIENTO MÁS ALLÁ DEL COMPORTAMIENTO ELÁSTICO DE UN SISTEMA ESTRUCTURAL CON EL USO DE CICLOS DE HISTÉRESIS

INTRODUCCIÓN

A continuación, vamos a realizar el estudio del amortiguamiento que experimenta una estructura asociado a una incursión significativa en el rango de comportamiento inelástico, lo que trae consigo procesos de disipación de energía, traducidos en el desarrollo de ductilidad y degradación de la rigidez. Cada uno de estos aspectos señalados, representan la información que estaremos extrayendo de la interpretación de los ciclos de histéresis con la ayuda de métodos gráficos.

Imagen N°01: visión general de la temática a estudiar

Fuente: Bertero (1971), Dowrick (1977), Chopra (2014), adaptado por Santana (2018)

En la imagen N°01, podemos apreciar una visión general del uso de estos métodos, cuya aplicación sugiere la premisa, de ahondar un poco en el estudio de modelos teóricos de fuerza – deformación, de los cuales se extraen relaciones de interés donde utilizaremos los valores numéricos que se derivan de la interpretación de los ciclos de histéresis con la ayuda de técnicas gráficas. Adicionalmente el tratamiento de la data experimental, para la construcción de los ciclos de histéresis, lo realizaremos con ayuda de la herramienta computacional “Microsoft Excel Versión 2013”.

IDEAS CONCEPTUALES DE INTERÉS

En el artículo anterior (ver referencia N°05), abordamos el concepto de amortiguamiento de un sistema estructural en vibración libre, cuya amplitud decaía en el tiempo producto del calor y fricción que se produce en los elementos estructurales, lo que hacía que el sistema retomara su posición inicial después de cierto tiempo, es decir, exhibía un comportamiento elástico, el cual se puede idealizar con el gráfico de la izquierda de la imagen N°02; donde el tramo de recta “O-A”, es representativo de un caso de elasticidad lineal, en el que la respuesta estructural en términos de fuerza (fs) es directamente proporcional a la respuesta estructural en términos de deformación (u), de allí a que las máximas respuestas representadas por el punto “A”, ocurren en el instante en que se inicia la vibración libre, y representan al mismo tiempo, un límite de elasticidad.

Imagen N°02: relaciones fuerza – deformación

Fuente: Dowrick (1977), adaptada por Santana (2018)

Ahora bien, en la práctica de la ingeniería sismoresistente, debido a lo intenso que pudiese resultar el movimiento del terreno por la acción de un sismo, las estructuras pueden experimentar daños en sus elementos, traducido en deformaciones permanentes, producto de la superación del límite elástico; lo cual se ilustra en el gráfico de la imagen N°02, referido a un comportamiento elástico - perfectamente plástico. En el momento que se supera el límite elástico, se dice que se ha llegado a un estado de cedencia, es por esta razón que las coordenadas que definen el punto “A” del gráfico en cuestión, son fuerza cedente (fy) y deformación cedente (uy).

En base a lo anterior expuesto, la deformación permanente, será aquella que se produce más allá de la coordenada asociada a la deformación cedente (uy), hasta llegar a un estado de deformación máxima (umax). Este trayecto de deformación, marcado por una incursión significativa en el rango inelástico, abre las puertas al concepto de ductilidad, la cual matemáticamente se define como:

No obstante, dado que el sismo se puede idealizar como una condición de carga cíclica, conviene al modelo elástico perfectamente plástico analizado, incluirle un tramo de descarga, donde el área encerrada por los vértices “O-A-B-C-O”, es una representación gráfica de la energía disipada de forma inelástica.

Imagen N°03: ilustración del proceso de descarga en un modelo elástico-perfectamente plástico

Fuente: Dowrick (1977) adaptada por Santana (2018)

En complemento a los aspectos concernientes a ductilidad y disipación de energía, surge también un tema de importancia a considerar en el comportamiento de estructuras ante cargas cíclicas, como lo es el proceso de degradación de la rigidez que esta experimenta, y que gráficamente se puede ilustrar con la pendiente de los tramos que marcan la trayectoria del proceso de carga y descarga. Tomando como referencia el gráfico de la imagen N°03, representativo de un modelo teórico elástico-perfectamente plástico, la pendiente del tramo “O-A”, representa la rigidez inicial; una vez superado el límite elástico (punto A), la rigidez se pierde por completo, dado que el tramo “A-B” no presenta pendiente, y posteriormente al producirse la descarga, el tramo “B-C” tiene la misma pendiente que el tramo inicial; es decir, según este modelo teórico el sistema recupera su rigidez inicial, con una presencia de deformación permanente “O-C” representativa de la incursión en el rango inelástico.

No obstante, el comportamiento más cercano a la realidad de una estructura que incursiona en el rango inelástico, es aquel que permita observar una cierta degradación de la rigidez, en el proceso sucesivo de carga y descarga; lo cual se aprecia de mejor manera con el uso de ciclos de histéresis, como por ejemplo el de la imagen N°04. Al plantear la rigidez en términos de pendiente de una recta, podemos ver como la pendiente secante representada por una recta que pasa por los vértices opuestos del ciclo de histéresis “A-C”, es ligeramente menor a la pendiente inicial, representativa de la estructura cuando se encuentra en estado elástico. Esta disminución de la pendiente, es un indicativo de la incursión en el rango inelástico del sistema estructural, y se traduce en una forma de amortiguamiento, que se incluye en la ecuación de equilibrio dinámico para estas condiciones, plasmando el componente de rigidez como una función del sentido de la deformación; lo cual da a entender, que el amortiguamiento más allá del límite elástico sugiere la formación de un ciclo de histéresis, cuya área encerrada por este, indica la energía disipada, traducida en algún tipo de daño, convenientemente expresado en una deformación permanente.

Imagen N°04: introducción a los ciclos de histéresis, y al concepto de pendiente secante

Fuente: Chopra (2014) adaptada por Santana (2018)

Por lo tanto conviene estudiar el comportamiento de las estructuras ante cargas alternantes, dado que estas simulan, con una gran aproximación a la realidad, los efectos de un sismo; por lo que se presenta a continuación, una data contentiva de relaciones fuerza-deformación, para procesos de carga y descarga, lo que nos permitirá construir los ciclos de histéresis para su posterior interpretación.

DATOS A UTILIZAR EN LA CONSTRUCCIÓN DE LOS CICLOS DE HISTÉRESIS

Estaré tomando como referencia un ejemplo académico, estudiado en la unidad curricular “CONDUCTA DE MATERIALES Y ELEMENTOS ESTRUCTURALES BAJO LA ACCIÓN DINÁMICA”, del postgrado de Ingeniería Sismoresistente que estoy desarrollando. Este ejemplo, consiste en someter a un pórtico como el ilustrado en la imagen N°04, a un proceso de carga cíclica, lo cual es una aproximación bastante cercana a la realidad, para evaluar el efecto de los terremotos en una estructura, tal como se señaló en líneas anteriores. Por lo tanto, la data que se dispone, contiene la información para la construcción de ocho ciclos de histéresis. En la tabla N°01, está la información que permite construir los primeros cuatro ciclos de histéresis.

Tabla N°01: data ciclo de histéresis del N°01 al N°04

Fuente: Marinilli (2016), adaptada por Santana (2018)

La data respectiva al resto de los ciclos de histéresis, se aprecia en la tabla N°02:

Tabla N°02: data ciclo de histéresis del N°05 al N°08

Fuente: Marinilli (2016), adaptada por Santana (2018)

Ahora bien, dado que el norte de este trabajo es comprender el concepto de amortiguamiento en sistemas que incursionen en el rango inelástico, a través técnicas gráficas que nos permiten obtener información de relevancia en lo que a interpretación de ciclos de histéresis se refiere, considero necesario darle fluidez a este proceso, enfocándonos estratégicamente en el estudio del primer y último ciclo de histéresis, lo cual se justifica, dado que en estos se resume el comportamiento elástico inicial y las deformaciones máximas alcanzadas más allá del rango elástico respectivamente, por parte de la estructura que fue sometida a cargas cíclicas.

TÉCNICA DE PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN

El tratamiento de la data, se realiza con la herramienta computacional “Microsoft Excel Versión 2013”. A continuación se exponen las principales actividades que conlleva el procesamiento de la información, con ayuda de esta herramienta computacional. En este sentido, seleccionamos en primer lugar la opción “insertar” y posteriormente la opción “dispersión con líneas suavizadas y marcadores” como se aprecia en la imagen N°05.

Imagen N°05: uso de la opción dispersión con líneas suavizadas

Fuente: Microsoft Excel Versión 2013, adaptado por Santana (2018)

Al seleccionar esta opción, aparece en la pantalla un formato de gráfico, sobre el cual debemos hacer clic secundario, y se nos abre la siguiente ventana:

Imagen N°06: activación de la opción “agregar datos”

Fuente: Microsoft Excel Versión 2013, adaptada por Santana (2018)

Procedemos a seleccionar la opción “agregar”, que nos dará la posibilidad de incluir los datos para cada ciclo de histéresis en particular, delimitándonos en este trabajo, al primer y último ciclo.

Imagen N°07: selección de valores “x” e “y” en el programa “Microsoft Excel Versión 2013”

Fuente: Microsoft Excel Versión 2013, adaptado por Santana (2018)

Tomando como referencia, la data para el ciclo de histéresis N°01, en el recuadro resaltado en color naranja, se incluyen los valores representativos del desplazamiento (u), y en el recuadro en color amarillo, los valores representativos de la fuerza (f).

Conviene aclarar, que trabajamos con la opción de líneas suavizadas, por el hecho de que nos interesa es la representación del ciclo de histéresis, a través de la unión de los diversos puntos que lo constituyen, por rectas suavizadas; de forma que una vez obtenido, se procede a realizar operaciones gráficas sobre los mismos, entre las que destacan, estimación de punto de cedencia por el criterio de áreas iguales, cálculo de ductilidad y estimación de la degradación de la rigidez por la técnica de pendiente secante.

UTILIZACIÓN DEL MODELO ELÁSTICO PERFECTAMENTE PLÁSTICO, PARA LA ESTIMACIÓN DEL DESPLAZAMIENTO CEDENTE

La estimación del desplazamiento cedente, la estaremos realizando con el criterio de áreas iguales, que surge al plasmar sobre la respuesta estructural obtenida un modelo teórico elástico perfectamente plástico. Tal como se aprecia en la imagen N°08.

Imagen N°08: definición del desplazamiento cedente por el criterio de áreas iguales

Fuente: Bertero (1971)

Este criterio de “áreas iguales” aplicado a los resultados histéricos que se tienen, tomando como referencia el primer y último ciclo, permite obtener lo siguiente:

Imagen N°09: aplicación del criterio de áreas iguales en el sentido positivo de la deformación

Fuente: Microsoft Excel Versión 2013, adaptada por Santana (2018)

De acuerdo a lo ilustrado en el gráfico de la imagen N°09, el desplazamiento cedente es:

Conviene señalar que este no es un valor exacto, dado que la incorporación del modelo teórico elástico perfectamente plástico representado por las líneas rojas del gráfico de la imagen N°09, es de forma aproximada, bajo la premisa de emular el criterio de áreas iguales, ilustrado en la imagen N°08; no obstante, este proceso se realiza con el mayor de los cuidados, de manera que el resultado obtenido sea confiable. Este criterio de áreas iguales, también se puede aplicar, en sentido opuesto a la deformación positiva, como se muestra en la siguiente imagen.

Imagen N°10: aplicación del criterio de áreas iguales en el sentido negativo de la deformación

Fuente: Microsoft Excel Versión 2013, adaptada por Santana (2018)

Por lo tanto el desplazamiento cedente, con el uso del criterio de áreas iguales, puede ser calculado tanto en sentido positivo de la deformación como en sentido negativo; y representa un dato de importancia para realizar los cálculos de ductilidad (ver ecuación N°01); lo cuales desarrollaremos tomando como referencia las deformaciones máximas experimentadas en sentido positivo para el primer y último ciclo de histéresis, por lo que estaremos trabajando con un desplazamiento cedente uy=3.4 cm.

INTERPRETACIÓN DE LOS CICLOS DE HISTÉRESIS EN BASE AL PARÁMETRO DE DUCTILIDAD

En el cálculo de ductilidad para cada ciclo de histéresis, es necesario de manera gráfica obtener los desplazamientos máximos; lo cual es facilitado por la herramienta computacional “Microsoft Excel Versión 2013”, dado que al señalar con el cursor el punto de máximo desplazamiento, nos da una referencia con las coordenadas de ese punto. De esta manera encontramos los desplazamientos máximos; como se aprecia en la imagen N°11:

Imagen N°11: estimación del desplazamiento máximo para los ciclos N°1 y N°8

Fuente: Microsoft Excel Versión 2013, adaptado por Santana (2018)

De esta manera los cálculos de ductilidad se resumen en :

Cuando se está en presencia de una ductilidad menor a la unidad, es un indicativo, que el sistema aún no ha superado el límite elástico, es decir, si se retiraran todas las cargas el sistema estructural recuperaría su forma original. Por otro lado, cuando el valor de ductilidad supera la unidad, es un excelente indicativo de la incursión en el en el rango inelástico.

La interpretación de estos resultados se puede complementar, atreviéndonos a realizar una gráfica de “desplazamiento máximo vs. ductilidad,” para cada uno de los ciclos de histéresis estudiados, de manera similar a cómo fue explicado en las imágenes N°05, N°06 y N°07.

Imagen N°12: estudio de la variación de la ductilidad con respecto a los desplazamientos máximos

Fuente: Microsoft Excel Versión 2013, adaptado por Santana (2018)

El gráfico de la imagen N°12, hace ver la relación directa proporcional que existe entre los desplazamientos máximos con respecto a la ductilidad desarrollada para cada ciclo de histéresis, hecho que permite afianzar el concepto de ductilidad, como una medida de la habilidad de incursionar la estructura en el rango inelástico, sin una pérdida apreciable de su resistencia.

Ahora bien, adicional al criterio de ductilidad, otro aspecto muy importante a considerar, en la interpretación de los ciclos de histéresis y asociado también a un mecanismo de amortiguamiento más allá del rango elástico, es la degradación de la rigidez. Este tema se aborda en el siguiente tópico.

INTERPRETACIÓN DE LOS CICLOS DE HISTÉRESIS EN BASE AL PARÁMETRO DE PENDIENTE SECANTE

Para el estudio de la degradación de la rigidez por la técnica de pendiente secante, se procede a trazar una recta que corte los vértices más alejados de los ciclos de histéresis en estudio. Y posteriormente, se calcula la pendiente de esta recta. A continuación representemos las pendientes secantes, para los casos en estudio.

Imagen N°13: aplicación de la técnica de la pendiente secante para el ciclo de histéresis N°01

Fuente: Microsoft Excel Versión 2013, adaptado por Santana (2018)

El cálculo de pendiente secante para el ciclo de histéresis N°01, se resume en:

Con respecto al ciclo de histéresis N°08:

Imagen N°14: aplicación de la técnica de la pendiente secante para el ciclo de histéresis N°08

Fuente: Microsoft Excel Versión 2013, adaptado por Santana (2018)

El cálculo de pendiente secante para el ciclo de histéresis N°08, se resume en:

Los resultados obtenidos de pendiente secante, se pueden graficar en función de los desplazamientos máximos para cada ciclo de histéresis estudiado, obteniendo lo siguiente:

Imagen N°15: desplazamiento máximo vs. pendiente secante

Fuente: Microsoft Excel Versión 2013, adaptado por Santana (2018)

El gráfico de la imagen N°15, muestra que existe una relación inversamente proporcional entre la pendiente secante y los desplazamientos máximos, más allá del punto de cedencia, es decir, en la medida que se incrementa la incursión en el rango inelástico los valores de pendiente secante irán disminuyendo, lo que se traduce en una degradación progresiva de la rigidez, un indicativo más, del amortiguamiento de una estructura más allá del rango inelástico.

CONCLUSIONES

1.- El amortiguamiento en estructuras que se comportan inelásticamente, como respuesta a los procesos de carga cíclica a las que fueron sometidas (por ejemplo: sismos), se asocia directamente con los procesos de ductilidad, degradación de la rigidez y disipación de energía.

2.- La evolución de los desplazamientos máximos para cada ciclo de histéresis con respecto a la ductilidad desarrollada, presenta una relación directa proporcional, es decir, en la medida que para cada ciclo las deformaciones máximas aumentan más allá del punto cedente, el valor de ductilidad también aumenta, dado que en términos matemáticos proviene del cociente que resulta de dividir desplazamientos máximos por el desplazamientos cedente.

3.- Cuando el valor de ductilidad es menor a la unidad, es un indicativo de que estamos en presencia de un comportamiento elástico, lo cual ocurre en el ciclo de histéresis N°01. No obstante para el ciclo de histéresis N°08, el valor de ductilidad supera la unidad, lo cual es una fiel expresión de un comportamiento inelástico.

4.- La evolución de los desplazamientos máximos para cada ciclo de histéresis con respecto a los valores de pendiente secante, presenta una relación inversa proporcional, es decir, en la medida que para cada ciclo las deformaciones máximas aumentan más allá del punto cedente, el valor de pendiente secante disminuye, lo cual se asocia directamente con una degradación de la rigidez.

5.- La energía disipada en un ciclo de histéresis está representada por el área que este encierra; de forma que al realizar la revisión de resultados de ciclos de histéresis de un sistema estructural sometido a cargas cíclicas, si no se detecta una caída abrupta en las áreas que estos encierran, en la medida que se incrementan los desplazamientos máximos, es un indicativo, de que están predominando los mecanismos de falla dúctil, es decir, para altos niveles de deformación la estructura no colapsa de forma repentina.

6.- Cuando proyectamos edificaciones desde el enfoque de la ingeniería sismoresistente, buscamos que cuando estas incursionen en el rango inelástico, se presenten mecanismos de falla dúctil, que la alejen de un colapso repentino (fallas frágiles); al mismo tiempo, tomando como referencia una estructura aporticada (sistemas estructural representado por vigas y columnas), favorecemos que sean las vigas las que fallen de forma dúctil, para así garantizar la estabilidad de la estructura, por medio de las columnas.

7.- Adicionalmente, tomando como referencia edificaciones aporticadas de concreto armado, intervienen aspectos como la disposición del acero de refuerzo en columnas y vigas; lo cual es clave en el favorecimiento de los mecanismos de falla dúctil, y sobre lo cual estaré profundizando en un próximo post.

FUENTES CONSULTADAS

1.-BERTERO V. V. THE ROLE OF DUCTILITY IN SEISMIC RESISTANT DESIGN OF STRUCTURES. UNIVERSITY OF CALIFORNIA AT BERKELEY, BERKELEY.1971

2.-DOWRICK D. J. EARTHQUAKE RESISTANT DESIGN. A MANUAL FOR ENGINEERS AND ARCHITECTS. JOHN WILEY & SONS, NEW YORK. 1977.

3.-CHOPRA ANIL K. DINÁMICA DE ESTRUCTURAS. CUARTA EDICIÓN. PEARSON EDUCACION, MEXICO 2014.

4.-MARINILLI A. CONDUCTA DE MATERIALES Y ELEMENTOS ESTRUCTURALES BAJO LA ACCIÓN DINÁMICA. POSTGRADO DE INGENIERÍA SISMORESISTENTE, UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA. 2016.

5.-SANTANA ELÍAS. DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DEL AMORTIGUAMIENTO EN ESTRUCTURAS; UN ENFOQUE MATEMÁTICO CON APLICACIONES EN LA INGENIERÍA SISMORESISTENTE. DISPONIBLE EN: https://steemit.com/stem-espanol/@eliaschess333/determinacion-experimental-del-amortiguamiento-en-estructuras-un-enfoque-matematico-con-aplicaciones-en-la-ingenieria