Aplicación de la Ecuaciones Diferenciales Ordinarias a la Biología Marina | GMath

in spanish •  last year  (edited)
Elaborada por @abdulmath, con GIMP.
Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente. Este post quiero dedicárselo a mi estimado amigo @oswaldogomezs, quien en una conversación telefónica en días pasados, me comentaba que estaba preparando una sorpresa que pronto colocará en su blog, en ese momento aproveche la oportunidad de preguntarle que si había leído mis últimas publicaciones y sobre las aplicaciones (a modo de broma, conociendo que él es Biólogo), le dije que me había faltado una aplicación a la Biología. Pues conversando, me comento de algunas que podrían ser muy interesante tratar, y producto de ese intercambio, nació la iniciativa de hacer esta publicación, donde hablaremos del modelo de Ludwing von Bertalanffy. El post está dirigido al público en general, pero con atención especial a estudiantes universitarios de ciencias (específicamente biólogos y amantes de la biología marina), ingeniería y carreras afines. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo del mismo. Sin perder más tiempo, iniciemos.

Uno de los modelos clásicos que se usan mucho en la Biología, es el referido a modelo de crecimiento demográfico, el mismo fué estudiado por el economista inglés Thomas Malthus en el siglo pasado, alrededor del año 1978. El modelo malthusiano, como normalmente se le conoce, es formulado matemáticamente suponiendo que la tasa de crecimiento poblacional es proporcional a la población total, es decir, que mientras mayor sea la población, mayor será el crecimiento de la población, lo cuál en términos matemáticos lo podemos expresar de la siguiente manera:



donde k es la constante de proporcionalidad poblacional.

Es de hacer notar que este modelo poblacional es un modelo muy sencillo, pero que no toma en cuenta algunos parámetros que son de importancia cuando se trata de predecir la población humana, ya que existen otros parámetros que pueden hacer crecer o disminuir la población humana, como por ejemplo, la inmigración y la emigración. Sin embargo, este modelo poblacional, predijo con una buena exactitud la población de los Estados Unidos, entre los años 1790 hasta los años 1860, donde quizás estos parámetros que antes nombramos nos eran de mucha influencia.

Pero en la Biología, este modelo malthusiano es usado con bastante regularidad para estudiar el crecimiento de poblaciones de bacterias y animales, para intervalos de tiempo pequeños.

Otro de los modelos de interés, es muy similar al malthusiano, es el de diseminación o propagación de enfermedades o plagas. Este modelo, es normal pensar que la tasa con la que se propaga la enfermedad o plaga no sea proporcional a la cantidad de personas infectadas, es por ello, que podemos describirlo como que la tasa de propagación de la enfermedad es proporcional al producto de la cantidad de personas infectadas por las que no han sido infectadas aún en la población, lo cuál en términos matemáticos lo podemos escribir de la siguiente manera:



donde k es la constante de proporcionalidad, pero si suponemos que a una población de n individuos, se introduce una persona infectada, entonces la ecuación diferencial anterior la podemos escribir en función de solamente la población infectada y su tasa de propagación como sigue:



Aplicación en el Campo de la Biología Marina

Dentro de los modelos matemáticos para describir el crecimiento, debemos nombrar, mencionar y estudiar la llamada ecuación de Bertalanffy. Karl Ludwig von Bertalanffy fué un destacado biólogo y filosofo, de nacionalidad Austriaca, quien es mayormente reconocido por su obra "General System Theory. Foundations, Development, Aplications". Las ideas fundamentales del modelo de von Bertalanffy, se deben al trabajo del filosofo Alemán Pütter (1920).

El modelo o la ecuación de von Bertalanffy, es el más usado para realizar estudios de las dinámicas poblacionales marinas, que son sometidas a explotaciones. En algunos casos algunos científicos en la década de los 70, solían llamarlo el modelo de Pütter en reconocimiento a que fue él quien comenzó el desarrollo del modelo, y son sus ideas las que se usan para desarrollar el modelo de von Bertalanffy.

En los primeros pasos para desarrollar el modelo, von Bertalanffy, destacaba 3 tipos de metabolismos distintos en los animales, a saber:

  1. El metabolismo visto como una constante de proporcionalidad a la superficie corporal, es decir, proporcional a la longitud o tamaño del animal, o también visto como la raíz cúbica del peso al cuadrado del animal;
  2. El metabolismo visto como una constante proporcionalidad del peso; o
  3. El metabolismo visto como un punto intermedio entra los dos tipos anteriores.

En busca de tener un modelo que se adaptará a un modelo que se apegará mas al fenómeno biológico que se trata de describir, von Bertalanffy dedujo su modelo utilizando hipótesis fisiológicas, donde consideró que el crecimiento en peso se puede expresar como la diferencia entre el producto del coeficiente anabólico (responsable de representar el aumento de la masa) por la superficie de resorción (este término, significa que algo absorbe un liquido o peso que ya había perdido) S(t) y el producto del coeficiente catabólico (responsable de representar como se degradan las biomoléculas para obtener energía) por el peso del animal w(t), esto lo podemos describir en términos matemáticos como la ecuación siguiente:



donde k1 es una constante anabólica, y k2 es una constante catabólica.
así, luego basando en sugerencias de Pütter, que establece que la tasa de incremento o tasa de anabólismo es proporcional a la superficie corporal o superficie de resorción, es decir, proporcional a la raíz cúbica del peso al cuadrado del animal; y que la tasa de catabolimos es proporcional al peso del mismo. Luego, von Bertalanffy supone que la superficie corporal es proporcional al cuadrado de la longitud, y el proceso catabólico es proporcional al cubo de la longitud del animal. De esta manera tenemos en términos matemáticos expresados de la siguiente manera:


donde alpha y beta son dos constantes positivas. Así, tomando la ecuación (4) podemos escribir la tasa de cambio del peso, en función de la longitud, como sigue:


así, despejando L(t) de la última ecuación dada en (5), y sustituyendo en la anterior tenemos:


si tomamos


entonces


luego sustituyendo en la ecuación diferencial dada en (4) obtenemos la ecuación diferencial establecida por Pütter, para mostrar que el crecimiento es isométrico, escrita de la forma:


dado que la ecuación del peso dada en (5) es una función que depende de la longitud, entonces derivando esta tenemos:


igualando esta ecuación obtenido anteriormente con la ecuación dada en (6) tenemos:


de esta forma despejando tenemos


si ahora para tratar de simplificar términos y expresarlo de una manera más compacta, tomamos:


sustituyendo en (8) tenemos:


si ahora damos una condición inicial, tenemos un PVI dado como sigue:



La ecuación obtenida en (9) es la conocida ecuación diferencial de von Bertalanffy, en esta parte vamos a mostrar como encontrar su solución. Dada entonces la ecuación siguiente:



la podemos resolver usando el método de variables separables (el cual podemos consultar a manera profunda en uno de mis post Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias | Lección #2), si suponemos que :


entonces tenemos que


integrado con respecto a t, tenemos:


luego de realizar un cambio de variable para poder integrar la parte izquierda de la ecuación, obtenemos:


despejando L(t), nos queda:


ahora usamos la condición inicial para determinar la constante C2, entonces la ecuación viene dada por:

Ahora, como está planteado el problema, podemos suponer que existe un tiempo t0 donde el crecimiento es cero, es decir, L(t0)=0, por tanto tenemos:



despejando L0, nos queda:


sustituyendo en la ecuación (12) obtenemos:


luego, obtenemos la ecuación planteada por von Bertalanffy, la cuál podemos escribir como:


en está ecuación podemos identificar ahora las constantes que estan involucradas en el modelo, para así poder aplicarlo de una manera más directa sin necesidad que cada vez que lo vayamos a aplicar, tener que pasar por el proceso de obtención de la misma. Adicionalmente, en muchos casos esas constantes son calculadas a través de la estadística, entonces podemos decir lo siguiente acerca de esas constantes:

  • la constante omega es la longitud máxima de los individuos, y
  • la constante lambda representa el parámetro de curvatura que expresa que tan rápido alcanza su longitud máxima.


    La curva del modelo de von Bertalanffy con Omega=250, Lambda= 0.4, t0=1.
    Elaborada en Manjaro Linux, con GNU Octave. Por @abdulmath.

Analizando la curva del modelo de von Bertalanffy, es importante encontrar los puntos de equilibrio de la dinámica de la ecuación, los cuales se encuentran igualando la ecuación general de todas las soluciones cuya derivas es igual a cero, es decir, resolviendo la siguiente ecuación:



por lo tanto el único punto de equilibrio de la ecuación de Bertalanffy es


Como podemos apreciar en la gráfica mostrada anteriormente para unos parámetros dados.



Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado de post, que con especial aprecio le dedique a mi estimado amigo @oswaldogonzalezs, en el cuál pudimos describir una aplicación de este fascinante tema de las ecuaciones diferenciales en el campo de la biología marina. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y sus aplicaciones. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.


Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias.

  • Bertalanffy, Ludwig von. General System Theory. Foundations, Development, Aplications. New York, 1968.
  • Boyce, William E., Richard C. DiPrima, and Charles W. Haines. Elementary differential equations and boundary value problems. Vol. 9. New York: Wiley, 1969.

Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath con
, y GIMP.




Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con Karbon y GIMP.

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Por la excelente presentación y calidad de su contenido

En tus publicaciones encontramos maravillosas guías para enfrentar el mundo de las matemáticas. Estoy seguro que la suma de tus post hará un excelente libro para quienes tengan interés por esta área. ¡Te felicito!

Hola @cimillan, agradecido por tu comentario y valoración. Saludos y éxitos. Un abrazo.

Heme aquí. Me da muchísimo gusto haberte aportado una buena idea para desarrollar. De mi formación académica en el pregrado, como biólogo, tuvieron mucho peso dinámica de poblaciones y biología pesquera. Estos dos temas se basan precisamente en modelos, que son los que permiten "falsificar la realidad de manera repetible y confiable". Con un modelo pesquero, por ejemplo, no necesitamos mandarnos un chapuzón, contener la respiración y rogar que no nos consiga mal puestos un tiburón, para poder entender las variaciones dinámicas en los números de la población de un recurso, y dentro de ese número, los del stock (fracción de la población de un recurso que es sometida a la explotación pesquera). Conociendo el modelo parásito hospedante, no tenemos que abrirle la panza a un animal para ver lo que un parásito está haciendo con él. Tengo que confesar que me hizo mucha gracia ver la ecuación logística con otros coeficientes. Yo la conozco con L(t), L(0) y K. Cuando se refiere a peso, se usa W(t) y W(0). Hay un parámetro extra, que fue calculado posteriormente, si mal no recuerdo, por Ricker. Se le denomina Longitud asintótica y no es otra cosa que el límite de la ecuación logística cuando t-> infinito. Es la máxima talla (o peso) que un individuo de una especie dada alcanzaría solo en un lapso infinito. El aspecto que validó en primera instancia el modelo, es que L(0) > 0 siempre. Tal como sucede en la naturaleza, todo organismo nace con una longitud (o peso) mayor a cero. Esto es apenas un abreboca de los interesantes modelos biológicos. Gracias por exponer tu visión del tema.

Hola @oswaldogomezs, yo contento que pudieras comentar y enriquecer la publicación, pues esa longitud asintótica al que te refieres, es exactamente el punto de equilibrio o estabilidad del modelo, es decir, que cuando t tiende a infinito, la longitud en teoría no aumentaría del ser vivo del modelo que estas tratando de describir. Y si, es siempre natural pensar que la condición inicial es estrictamente positiva, pues en casa que sea 0, estaríamos en el caso que los peces tienen o bien longitud o peso cero, para lo cual no se adapta a la realidad. y en caso negativo, tampoco, y el modelo lo que trata es de describir el modelo biológico para poder predecir en que momento se debe realizar la pesca.


Agradecido yo estoy de tí, pues de esa conversación nació la inquietud de escribir esta publicación.

Saludos y un abrazo.

Este artículo fue seleccionado por el equipo de @bebeth

Hola @abdulmath, ¡Gracias por este contenido de Calidad!

Recibe nuestro Sello de Genialidad, así como nuestro voto y el de nuestra patrocinadora @beanz en reconocimiento.

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Excelente dedicación al post.

Hola @andreacastaneda, gracias por tu comentario y tiempo en dedicarle a leerlo. Saludos y un abrazo

Siempre aportando contenido de calidad. Éxitos!

Hola @gorayii muchas gracias por tu apreciación. Saludos y un abrazo.

Felicidades, aunque no me gustan mucho las fórmulas, pero muy bueno el post.

Gracias @gabovillalba, gracias por tu visita. Saludos.

Bueno desde este punto de vista, y considerando la inclusión en el manuscrito a nuestro Ludwing von Bertalanffy y su prodigioso enfoque de los sistemas biológicos, ocupemos un espacio en el aula, para leer en detalle este post. Saludos estimado @abdulmath.

Gracias @lupafilotaxia, sin duda alguna von Bertalanffy trata el enfoque a los sistemas biológicos, pero su mayor aporte fue todo el que le dio a la Teoría general de los sistemas, aplicados a todas las áreas, sin duda un material para leer, para quienes trabajos en el área de Ingeniería. Agradecido por el tiempo dedicado a leer este post, seguro que te gusto mucho por tocar un poco tu área de trabajo. Yo de verdad emocionado cada vez que leo que alguien aprecia mi trabajo, al cuál le dedico mucho tiempo, para escribirlo. Saludos y un abrazo.

P.D. Si algún día coincidimos en un lugar con gusto me gustaría hablar de temas en común.

Excelente hermanazo...

Gracias @eleazarvo por tu visita y comentario. Saludos

Dios mio, me gustaria opinar de una forma mas apropiada pero que va, me rasparon esa materia, jejeje, saludos desde engranate.

Gracias por visitarme y leer aunque no entendieras. Saludos

Excelente explicación, gracias por compartir.

Hola @elemarg25, gracias por tus comentarios. Agradecido por visitar y comentar. Saludos y un abrazo.

Siempre traes post interesantes, te felicito. Gracias por compartir

Gracias @analis69, agradecido por tu comentario, y tu apreciación. Saludos y un abrazo. Éxitos para ti.

  ·  last year (edited)

Genial este post de aplicación en la biología @adbulmath. Excelente!

Hola @geadriana, que bueno sea de tu agrado. Saludos y un abrazo.