Una mente brillante

John Forbes Nash es un matemático que nació 1928, que estudió e investigó en la Universidad de Princeton y entre cuyas aportaciones, la más conocida es el equilibro de NASH. 
Su vida tiene anécdotas curiosas como la carta recomendación que tuvo, que decía que este hombre es un genio matemático; desgraciadamente sufrió de esquizofrenia paranoide, aunque luego fue recuperándose de su enfermedad; le concedieron un nobel tan tarde como en el 1994 y seguro que a todos les suena por una película de ficción basada en su vida, una mente brillante en la que explican el equilibrio de NASH

La película está bastante buena, le dieron el Óscar, aunque se toma ciertas licencias narrativas, desgraciadamente murió hace sólo un par de años a los 84 años, no fue por su edad, sino por un accidente de coche junto a su esposa.

Pero qué es el equilibrio de NASH? 
Imaginaos una situación en la que desea irse de fiesta con un amigo vuestro, pero no podéis comunicaros con él, y tenéis que tomar a la vez una decisión sobre si salir o no salir, si ambos deciden salir, pues lo pasáis genial y ambos ganaran 5 en valor de utilidad; si ambos deciden quedarse en casa, pues bueno se quedan como estaban con un valor de utilizad de 0; y si uno sale y el otro no, esa persona que sale se encontraba saliendo solo (lo que es un poco triste y deprimente), así que digamos que pierde utilidad y obtiene -2 y viceversa.

El equilibrio de NASH es un concepto de solución que se basa en dos supuestos, el primero: es que las personas son racionales entendido esto como que son personas que maximizan su utilidad y que son capaces para hacerlo, de hacer cualquier cálculo necesario sin ningún tipo de problema; el segundo requisito: es que esa racionalidades es de conocimiento común, es decir no sólo ambos jugadores son racionales, sino que ambos saben que el jugador es racional y ambos saben que el jugador sabe que ellos son racionales, ambos son racionales y es conocimiento común, con estos supuestos sólo hay dos posibles resultados posibles que son resultados en los que ambos salen y el resultado en el que ambos se quedan en casa.

Para aclararlo un poquito más; pensarlo de esta manera, con el primer supuesto, digamos que si los jugadores son racionales, en lo que van a hacer, va a ser la mejor respuesta a lo que haga el otro, siempre y qué es lo que creen que va a hacer el otro, como hay conocimiento común de la racionalidad, saben que el otro también es racional, por tanto va a buscar la mejor respuesta, así que digamos que el equipo de NASH son aquellos resultados del juego en los cuales los jugadores hacen mejor respuesta, a la mejor respuesta; en el ejemplo si el otro amigo sale lo mejor que podemos hacer es salir también, si el otro amigo salió la mejor respuesta también es salir, porque obtenemos 5 en vez de cero, si nos quedamos en casa y es mejor; y si nuestro amigo se queda en casa lo mejor que vamos a hacer es quedarnos también, porque no vamos a hacer eso salir solos y tener esa utilidad de -2, mejor tener 0 que -2.

Otra forma sencilla para comprender lo, es que un equilibrio de NASH, son aquellas situaciones donde ningún jugador se arrepiente de la decisión que ha tomado, cuando observa el final del juego; si ambos salen, ninguno hubiera preferido hacer otra cosa de forma individual, no querría cambiar la decisión de forma individual, lo mismo si ambos se quedan en casa; sin embargo, en los resultados donde uno sale y otro no, el que sale hubiera preferido quedarse en casa antes que andar por ahí solo y el que se queda en casa hubiera preferido salir y pasárselo bien con su amigo con lo cual estos resultados no pueden ser equilibrios de NASH, ya que hay un arrepentimiento que implica que no es la mejor respuesta a lo que ha hecho el otro.

Hay otras variantes del equilibrio, llamada equilibrio de NASH perfecto en sus juegos, el concepto es el mismo que equilibrio de NASH, pero debe cumplirse en todos y cada uno de los subjuegos; que es un subjuego? es simplemente un plus final del juego, es decir, se cortar el juego y mirar solo esa parte que te conviene, es un equilibrio de NASH en el juego entero y también son equilibradas en el subjuego, La mejor respuesta de las respuestas.