HILBERTOV HOTEL

  Iako upoznati sa pojmom vecnosti, anticki mislioci nisu rasudivali o beskonacnosti u matematickim problemima.  Postojale su velike nedoumice oko shvatanja apstraktnog pojma beskonacnosti.  U 19.  veku Georg Kantor je uveo pojam kardinalnosti i prebrojivosti skupova, objasnivsi da je prebrojiv svaki skup koji ima istu kardinalnost kao skup prirodnih  brojeva.  Takode,  objasnio  je  da  realnih  brojeva  ima  vise  nego  prirodnih.  I  jednih  i drugih ima beskonacno mnogo, zar ne?  Neobicnost Kantorove teorije matematicar Hilbert je objasnio slikovito, opisavsi resenje problema smestanja beskonacno mnogo gostiju u hotel sa beskonacno mnogo soba - Hilbertov hotel.  

  Hilbertov hotel ima beskonacno (prebrojivo) mnogo soba, koje su numerisane brojevima: 1, 2, 3, ...  Sve sobe su popunjene.  Moze li ovaj hotel da primi bar jos jednog gosta?  

  Uvodenjem  nekoliko  matematickih  pojmova  shvaticemo  da  zadatak  za  menadzera hotela koji smesta nove goste ipak nije mnogo tezak.  Dakle, pokusajmo da mu pomognemo. Imamo jedan skup.  Kardinalnost (velicina) tog skupa je broj njegovih elemenata.  Ako je skup  konacan,  jednostavno  brojimo  elemente,  i  kazemo  da  je  skup  S  velicine  n  ako  ima tacno n elemenata.  Dva skupa imaju istu kardinalnost ako se moze uspostaviti bijekcija elemenata  jednog  skupa  u  elemente  drugog  skupa.  Kolika  je  kardinalnost  beskonacnog skupa?  Opisimo to na skupu prirodnih i realnih brojeva.  

 Prebrojiv je svaki skup koji ima istu kardinalnost kao skup prirodnih brojeva. Elemente tog skupa uvek mozemo poredati u niz.  Posmatrajmo sad skup realnih brojeva.  Dokazano je  da  njih  ne  mozemo  da  poredamo  u  niz,  i  da  ih  ima  vise  nego  prirodnih.  I  njih  ima beskonacno mnogo, ali su neprebrojivi, vece kardinalnosti od kardinalnosti skupa prirodnih brojeva.  

  Kako navedene cinjenice primeniti u resavanju problema Hilbertovog hotela?  

 Smestajmo  goste  u  hotel.  Svakoj  praznoj  sobi  (sobi  koja  u  trenutku  pristizanja  novih gostiju nema svog stanara) dodeljen je neki prirodan broj (sve sobe imaju razliciti broj). Brojeve soba mozemo sortirati u rastuci niz, te ih stoga mozemo i prebrojati.  Na osnovu toga  zakljucujemo  da  i  novih  gostiju  koje cemo  smestati  u  te  sobe  mora  biti  prebrojivo mnogo.  

Sta ako dode konacan broj novih posetilaca u hotel?  Kako da ih smestimo? Osobu iz sobe 1 premesticemo u sobu 2, iz sobe 2 u sobu 3, ...  iz n u n + 1.  Svaka nova pridoslica nasla je svoje mesto u hotelu, resili smo problem.  

Zamislimo sada jednu malo ne toliko na prvi pogled intuitivnu situaciju.  Doslo je beskoncno mnogo gostiju.  Mozemo li njih smestiti na neki nacin u hotel? 

Osobu iz sobe 1 premesticemo u sobu 2, iz 2 u 4, iz n u 2n.  Tada sve neparno numerisane sobe ostaju slobodne (a ima ih beskonacno, prebrojivo mnogo) za nove posetioce.  

  Sta ako uvedemo jos koji parametar koji ce nam otezati slucaj smestanja posetioca? 

  Dovedimo  beskonacno  (prebrojivo  mnogo)  autobusa  sa  po  prebrojivo  mnogo  putnika  u svakom od njih. 

Osobu  iz  sobe  i  premestamo  u  sobu  2i.  Posetioce  iz  prvog  autobusa  smestamo  u  sada prazne sobe numerisane brojevima oblika 3n, iz drugog u sobe 5n, iz autobusa broj k u sobe broja pn, gde je p k-ti neparan prost broj. Preostalih soba, u koje nismo smestili goste ima beskonacno (prebrojivo mnogo) - slobodne su za nove putnike.  

   

 Problem Hilbertovog hotela omogucava nam da bolje shvatimo pojam beskonacnosti, prebrojivosti i neprebrojivosti skupova, i da ih na slikovitiji i zanimljiviji nacin objasnimo i razumemo.

Literatura:

[1]  Nancy Casey, Welcome to the Hotel Infinity! 

[2]  M. Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics, Springer. Accessed May 25, 2007.   Hilbert infinite hotel 

[3]  Steven Strogatz, The Hilbert Hotel 

Napisala @bela.skvo 

@teamserbia #teamserbia #matematika #hilbert