从勾股定理推开去

勾股定理，大家初中就学过。勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，说的就是在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。如果用x和y分别表示两个直角边的长度，用z表示斜边的长度，那么勾股定理可以表示成：

这个代数方程看上去简单明了，那么如果我们在它的基础上推广一下，会得出什么结论呢？

首先，如果把平方推广到n次方，那么就有下面这个方程：

如果n = 2，那么这就是勾股定理。在n = 2的时候，这个方程是有正整数解的。比如3，4，5就是一组勾股数，也就是 3² + 4² = 5²。那如果在n > 2的情况下，我们要问的问题是：这个方程还有正整数解吗？答案是没有，不信你自己试试。

当n > 2时，xⁿ + yⁿ = zⁿ 没有正整数解。这个命题看上去很普通，可实际上却一点也不普通。这个命题最早在17世纪由费马提出，历经了三百多年可一直没人能够证明。最终在1995年才被彻底证明，这就是著名的费马大定理。费马大定理的证明过程就不在这里讨论了。花费了人类三百多年才证明出来的定理，证明过程肯定不简单啦。

除了从勾股定理推广到费马大定理以外，回到直角三角形本身，我们还能推广出啥来呢？要不咱看看两个直角边的平方的倒数的和有什么性质吧 。

这个问题的答案是：

h是直角三角形斜边上的高。证明起来也很简单：

对直角三角形来说，面积既可以写成两个直角边乘积的一半，也可以写成斜边和斜边上的高的乘积的一半。所以我们就有：

所以：

这样我们就把这个命题证明完毕了。虽然这个证明的过程比较简单，但我们从中可以看出数学就是这么奇妙。我们从一个简单的勾股定理，就能推出来这么多有趣的性质，是不是让人觉得很有意思呢？

Reference

费马大定理

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