Cómo conseguir tres números a, b y c que satisfagan la siguiente igualdad: a^2 + b^2= c^2, suena a acertijo, verdad. Es fácil comprobar cómo se cumple esta relación en el siguiente trío de números que usaremos como ejemplo: 11, 60, y 61. Para determinar que en efecto se cumple la igualdad a^2 + b^2= c^2, hacemos a=11, b=60, y, c= 61, y procedemos así:
a^2= 11^2=121
b^2=60^2=3600, y
c^2=61^2=3721
De esta manera comprobamos que se satisface la igualdad planteada, ya que ambos lados de la misma tiene el mismo resultado: 121+3600=3721

Pero cuál es el significado de los tríos pitagóricos?

Para responder esa pregunta, me voy a remontar a los triángulos rectángulos y al Teorema de Pitágoras. Recordarás que en un triángulo rectángulo está compuesto por dos catetos a y b (que son los lados que forman el ángulo de 90° grados, y el otro lado, la hipotenusa c (es el lado opuesto al ángulo de 90°); estos tres lados satisfacen la igualdad a^2 + b^2= c^2, y ésta es la condición de un triángulo rectángulo de acuerdo al Teorema de Pitágoras.

Veámoslo en la siguiente imagen.

Fuente


Ahora, el planteamiento es

¿Cómo conseguir tríos pitagóricos?

Existen fórmulas para conseguir los valores de a, b, y c, que permiten obtener una terna: (a, b, c) que satisface la igualdad a^2 +b^2 = c^2, veamos el procedimiento siguiente:
Escojamos un par de números cualesquiera p y q, tales p > q. Existe un teorema que afirma que si:
a= p^2 - q^2,
b=2pq, y
c= p^2 + q^2
Entonces, encontraremos dicha triada.
Ejemplo:
Si p=5 y q= 3, entonces:
a= 5^2 - 3^2= 25-9=16
b=2.5.3=30, y
c=5^2 + 3^2= 25+9=34
Por lo tanto, los componentes de la triada son: a=16, b=30, y, c= 34.
Observe que:
16^2 +30^2= 34^2
256 + 900 =1156
1156=1156

Qué diferencia hay entre trío pitagóricos y ternas pitagóricas?

La diferencia es de escritura, cuando identificamos a los tres números a, b, y, c; nos referimos a trios; pero cuando lo expresamos como trío ordenado, esto es (a,b,c), nos referimos a ternas. Para efectos del post, usaremos los dos términos de manera indistinta.

Generación de trios pitagóricos

A continuación, una forma práctica de conseguir las ternas pitagóricas, a través de un software matemático interactivo libre para la educación llamado Geogebra (este software fue creado por Markus Hohenwarter).

Procedimiento.

Si quieres practicar, y conseguir tríos pitagóricos, lo que tienes que hacer es, seguir el siguiente enlace y ubicarte en la parte superior derecha de la ventana que se te abrió, mover lo puntos con el cursor para darle los valores que quieras a "p" y "q"; y de manera inmediata se te presentarán en la parte inferior izquierda, los valores de la triada, conjuntamente se formará el triángulo rectángulo correspondiente en el extremo derecho de la ventana.

https://www.geogebra.org/m/SDwRMxNA

Otra forma de ver las ternas pitagóricas es el triángulo numérico de ternas pitagóricas.

En él, a, b y c; son sustituidas por x, y, z. La terna se presenta en la columna del extremo derecho de la tabla.

Fuente

Parte de la historia de las tríos pitagóricos

La historia de los tríos pitagóricos, se remonta mucho antes de la existencia de Pitágoras, de ello hay evidencia en las Tablillas Babilónicas descubiertas a inicios del siglo XIX, en la ciudad de Larsa en Irak, data de 1800 a.C. Fue descubierta por Edgard Banks, amante de las antigüedades y arqueólogo, quien inspiró a George Lucas y a Steven Spielberg para crear el personaje de Indiana Jones.
La tablilla babilónica, a la cual se le dió el nombre de Plimpton 322, se considera que posiblemente es la tabla trigonométrica más antigua del mundo, y la más precisa utilizando base 60, evitando así numeros inexactos. De esta manera, los babilonios mostraron conocimiento del teorema de Pitágoras mucho antes del nacimiento del propio Pitágoras.

Fuente


La tablilla está compuesta por ternas pitagóricas (a, b, c) tales que a^2 +b^2 = c^2

Espero que este post les haya sido útil.
Saludos.