Mathématiques : qu'est-ce que la bijectivité ?

in #mathematiques7 years ago (edited)

Nous avons vu dans les deux derniers posts ce qu'était l'injectivité et la surjectivité au niveau des applications. 

Pour rappel, une application est une relation entre deux ensembles  qui a pour particularité la chose suivante : tous les éléments de départ ont une image unique. 


Pour comprendre ce qui suit, il faut bien bien avoir à l'esprit les notions d'injectivité, de surjectivité et d'application (relire les anciens posts si cela n'est pas clair).

 
Une application bijective est une application qui est à la fois injective et surjective. Dit autrement, les éléments de l'ensemble d'arrivée admettent un seul et unique antécédent.

De façon un peu plus formelle : 

Soit f, une application de E dans F. L'application est bijective si : 

Pour tous y dans F, il existe un unique x dans E tel que y = f(x)

Prenons un exemple pour bien comprendre : 


Soit f(x) = e^x  (e à la puissance x) de R dans R+ /{0} 


Il s'agit de la fonction exponentielle. Est-elle bijective dans ces conditions ? 


Première chose, la fonction exponentielle est continue dans R+.
Ensuite, pour tous y dans R+/{0}, x = ln(y)
La fonction du logarithme népérien étant parfaitement définie dans R+/{0}, nous pouvons par conséquent trouver pour chaque y un antécédent x, ce qui nous assure la surjectivité. 

De plus, trivialement, si e^x = e^x' alors x = x', ceci nous donnant l'injectivité. Ainsi, la fonction exponentielle de R dans R+ est bijective.
Si nous prenons cette même fonction de R dans R, alors nous n'avons plus la bijectivité car x = ln(y) ne fonctionne pas pour des y négatifs, empêchant la surjectivité.
 

Voilà qui devrait vous aider à parfaitement comprendre cette notion fondamentale et au combien importante que représente la bijectivité en mathématiques.

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