Formeller Beweis zur Unendlichkeit der Primzahlen
Ich habe gerade gemerkt, dass beim Markdown die Funktion zum verkleinern sich wunderbar für Mathe eignet und ihr wisst ja: nach einer langen Pause von mir muss erstmal ein Beweis daher!
Angenommen die Menge der Primzahlen P mit p1-pn ∈ P sei endlich.
p1 * p2 * p3... * pn = c
c + 1 ist nun eine "neue" Primzahl, da für jedes pi mit i ∈ N gilt 2pi > p + 1
(oder sauberer jpi * pi > jpi + 1 mit j ∈ N beliebig )
Da wir eine neue Primzahl mit der Eigenschaft c + 1 nicht ∈ P haben, wurde unsere Annahme, dass die Zahl der Primzahlen endlich ist, add absurdum geführt und wir wissen nun, dass das Gegenteil wahr ist: Die Menge der Primzahlen ist undendlich.
Als kurze Erläuterung: N ist die Menge der natürlichen Zahlen und die Beweisführung, bei der man das Gegenteil der Behauptung annimmt und es zu logischen Widerspruch führt, nennt man Widerspruchsbeweis
Ich liebe diesen Beweis weil es erstmal unmöglich erscheint Unendlichkeit zu beweisen, aber in der abstrakten, konstruierten Welt der Mathematik ist dies ein Kinderspiel, naja wenigstens wenn man sowieso immer gerne die Primfaktorzerlegung in Beweisen benutzt.
Ugh, I don't speak that language.
The Maths I mean. Terrible people they are.
To say math is a language is actually a good step to become a good mathematician ;)
Really? I heard it's a numbers game
No. That is why real mathematicians like to differentiate between "calculating" and "mathematics". In real math you hardly have complicated calculations, it is much more about definitions and seeing their logical connection.
I have written this proof as text only a few months ago.
sehr motivierender Post. Bei Zahlen macht mein Hirn auch Dicht, dank der Schule.
Dann reicht es ja hin die Vokabeln zu lernen. Leider sind diese in der Mathematik, so kommt es mir zumindest vor, durch noch unverständlichere Therme definiert :D
Ich muss aber zugeben, dass es mich stört wenn zu viel nach ihren Entdeckern benannt wird. Ich glaub ja das Gauss ein toller Typ war aber man muss ja nicht jeden Scheiß nach ihm benennen :D
Es hilft wenn man einfach jeden Therm den man nicht kennt versucht zu verstehen oder einfach googelt.
Die Schule macht das Interesse an Mathematik kaputt, in der Uni fängt man erstmal an die (natürlichen) Zahlen über das Zählen zu definieren, dann definiert man Addition und Multiplikation und baut das ganze Konstrukt erstmal neu, dass man in der Schule einfach nur (auswendig) lernen muss.
:D ja hab mir das auch schon angenommen die welt in gausian, pareto und wem auch immer einzuteilen. Aber das bestätigt meinen Verdacht dass cih doch am besten nochmal alles von Grundauf aufbaue (mit dem schwerpunkt auf die logik) einfache Arithmetik und von da aus dann weiter in die sicher spannende Welt der Mathematik. Über die "probability philosophy/interpretations" bin ich auch in die Wahrscheinlichkeitstheorie gerutsch fühlt sich so auf jeden natürlicher an.
OK :)
Find ich interessant, dass man Unendlichkeit mittels Mathematik beweisen könnte. Ich glaub dir das erstmal, hättest allerdings chinesisch geschrieben statt Zahlenkolonnen hätte ich genauso viel verstanden :)
Das schöne ist, dass der Beweis sehr schnell formell geht. Ich habe den Beweis auch schonmal informell gemacht - also wenige mathematische Zeichen benutzt. Ich dachte das wäre leichter verständlich ich hab aber auch nur "???" in den Kommentren gehabt :D.
Ich hätte vllt erwähnen sollen dass N die Menge der natürlichen Zahlen ist.
Was ist denn die Funktion zum Verkleinern?
< sub> und halt wieder schließen mit < /sub>
Stimmt leider nicht. Gegenbeispiel:
c=2x3x5x7x11x13x17*19=9699690
c+1=9699691
Aber: 9699691 = 347 · 27953 (Beide Faktoren sind Primzahlen), d.h. c+1 ist keine Primzahl!
Man kann aber so schließen:
c+1 ist entweder Primzahl ODER hat eine Primfaktorenzerlegung mit Elementen, die alle größer als die n-te Primzahl des Produktes sind.
es ist in der echten Welt natürlich so, aber wenn ich ganz abstrakt in meiner Annahme bleibe kann ich sagen:
Es gibt keine Primzahl pi die c+1 teilt, damit hat c+1 keine Teiler und ist eine Primzahl.
Du hast Recht das meine Begründung hier ungenügend ist, aber da es ja keine größere als die n-te Primzahl des Produktes gibt sollte sie imo valide sein. Natürlich könnte ich auch den Fall, dass es eine PFZ mit pj mit j>n ist betrachten und hab dann auch gezeigt, dass es mehr Primzahlen gibt als angenommen....
Trotzdem würd ich gern durchdrücken, dass ich in der absurden Welt, in der die Primzahlen begrenzt sind, annehmen darf das c+1 Prim ist :)
Da musst du dann mit der Definition von Primzahlen argumentieren. Ich kenne p ist genau dann eine Primzahl wenn sie genau zwei (natürliche Zahlen als) Teiler hat.
So sieht man, dass
c+1=9699691 = 347 · 27953 = 1 · 9699691
keine Primzahl ist.
Da ich ja eine falsche Annahme machen (alle Primzahlen sind bekannt) darf ich auch diese weiterbenutzen und sagen, dass 347 und 27953 nicht in der Menge der bekannten Primzahlen liegen und sie somit keine Primzahlen seien können. Eine Zahl kann keine Teiler haben wenn sie nicht von Primzahlen geteilt wird, also hat c+1 keine Teiler (ausser sich selbst und 1).
ich verstehe warum es verwirrend ist das man die Aussage mit einem konkreten Beispiel wiederlegen kann. Dies zeigt aber nur das sie halt stark gegen einen Widerspruch steuert.
Dann erlaube ich mir mal, dieses Thema mit einem 100% Upvote für deine Replik abzuschließen.
Danke Senpai, der Streber in mir brauchte das :D
Danke für den kompetenten Einwand, aber ich bin der Meinung, dass dies funktioniert weil ich in p1 * ... * pn alle Primzahlen multipliziere.
Ich hatte genau diesen Streitpunkt auch damals mit den Korrektoren :P