산술평균과 기하평균

산술평균은 길이(1차원)의 평균이며, 기하평균은 면적 및 부피(2차원이상)의 평균이다. 다른 말로하면 산술평균은 덧셈의 평균이며, 기하평균은 곱셈의 평균이다.
그림으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.

한편, 산술평균과 기하평균은 다음과 같은 관계를 가진다.

그림으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.

<산술평균은 파란색 삼각형의 높이, 기하평균은 주황색 삼각형의 높이>

밑변이 a+b인 직각삼각형(주황색)의 높이()는 "소"의 공식을 이용하여 산출할 수 있음. (이 부분을 몰라서 찾아봤는데 중학수학이었다는;;)

위의 그림에서 산술평균은 기하평균보다 항상 크며, a와 b가 같을때 산술평균과 기하평균이 같아진다는 것을 알 수 있다.

주지하다시피 누적수익률은 각기간의 수익률의 곱으로 계산되기 때문에 수익률의 평균은 기하평균을 사용하여 계산하는 것이 정확하다.

로그수익률

연속복리수익

먼저 연속복리 수익률에 대해서 알아보자. 연속복리 수익이란 (자연상수) e^r로 계산되는 수익률을 말한다.

자연상수 e는 다음과 같이 정의 된다.

또는

한편 수익률은 기간 수익률은 (1+r)로 표시가능하며, 해당 기간 동안 이자를 n번으로 나누어 받으면 수익률은 (1+r/n)ⁿ 가 된다. 이자를 무한대로 쪼개서 받으면 연속복리 수익인 e^r를 도출 할 수 있다.

연속복리수익

여기서 k = r/n으로 정의하면, n = r/k가 되어 다음과 같이 쓸 수 있다.

연속복리수익의 의미는 무엇일까? 복리수익은 이자에 다시 이자가 붙는 방식이므로 똑같은 이자율을 적용하더라도 이자계산을 자주 할 수록 실제 수익이 높아진다. 하지만 무작정 높아 지는 것은 아니며 최대 e^r까지만 높아질 수 있다.

예를 들어 연간 표시이자율이 5%일 때와 50%일 때를 살펴보자. 이자지급횟수가 늘어날때 마다 수익률이 증가하는 것을 볼 수 있으며, 수익률이 클 때 더 큰 폭으로 증가한다. 역으로 말하면 실제 수익률과 연속복리수익률의 차이(오차)는 수익률이 클 수록 커진다.

연속복리수익을 다기간으로 확장하기 위해서는 r대신 rt를 사용(즉, e^rt)하면 된다. 연속복리수익률을 가정하여 투자후 2배가 되는데 걸리는 시간을 계산해보자.

t기간의 연속복리 수익은 e^rt 이므로 수익률이 2배가 되는 시점은 다음과 같이 계산할 수 있다.

e^rt = 2
양변에 로그를 취하면,
rt = ln2 = 약 69.3%
t = 69.3%/r

72의 법칙

즉, 69.3%를 수익률 r로 나누면, 2배가 되는 기간을 구할 수 있다. 편의상 69.3%를 72%로 대체하여 쓰기도 하는데 이를 경제학에서는 "72의 법칙"이라고 한다. 72는 2,3,6,9 등 다양한 숫자로 나누어떨어지므로 계산의 편의상 72를 사용한 것으로 보인다.

여기서 주의할 점은 t를 계산할때 연속복리 수익을 가정하였다는 것이다. 따라서 실제 수익률을 적용한 t 기간과는 약간의 차이가 발생할 수 있으며, 그 차이는 수익률 r이 커짐에 따라 커지게 된다.

로그수익률

로그 수익의 중요성과 관련해서는 @jongsiksong 님의 글을 참고 하시면 됩니다.
로그 차트를 봐야하는 이유

재무에서는 계산과 비교의 편의성을 위해 로그수익률을 많이 사용한다. 로그의 특성을 이용하면 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈으로 바꿀 수 있으며, scale의 영향을 받지 않기 때문에 과거 수익률과 비교가 용이하다.

투자금액 X_t-1가 X_t로 증가(감소)했을때, 로그수익률(K)은 다음과 같이 계산된다.

로그수익률은 다음과 같이 일반수익률(r)로 변경할 수도 있다.

로그수익률을 그대로 사용하기

일반수익률과 로그수익률의 값은 다르게 계산 된다. 하지만 특정한 조건에서는 로그수익률을 일반수익률처럼 사용할 수도 있다. 어떤 경우일까?

로그수익률(K)가 일반수익률(r)과 같다는 것은 다음의 식이 성립함을 의미한다.

위의 식은 r이 "0"에 근접할때 성립한다. 증명은 테일러전개를 이용하여 가능하다. 즉, f(X) = ln(1+X)로 두고 1차항까지 테일러 전개를 하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

<출처 : 시계열데이터에 로그변환을 취하는 이유>

즉, r = 0에 근접할 때 일반수익률(r)과 로그수익률(K)가 유사하므로 이를 활용하여 쉽게 수익률 등을 계산할 수 있다.

기하평균과 로그수익률

최초 투자액 X, 1기간수익률 a, 2기간수익률 b인 경우의 기하평균(GM)과 로그수익률 평균(LM)을 계산해보자.

기하평균에 로그를 취하면,

기하평균에 로그를 취한 값은 로그수익률의 평균과 같다는 것을 알 수 있다.

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