해안선의 길이는 무한하다 - 프랙탈(fractal) 이론

프랙탈과 카오스 이론...한 2~30년 전에 꽤나 유행했던 과학이론이다.
과학이론도 유행을 타나? 같은 패러다임 내에서 과학적 진리는 바뀌지 않는데 유행은 타는 것 같다. 프랙탈과 카오스 이론이 유행했던 때는 쥬라기 공원이 영화화되었던 시절이다. 쥬라기 공원은 쥬라기 월드로 이름까지 바꾸면서 아직까지 명맥을 유지하고 있는데 프랙탈과 카오스 이론은 어디로 갔지? ㅎㅎ

프랙탈은 한마디로 얘기하면 자기유사성이다. 현미경으로 자세히 들여다보면 동일한 패턴이 계속 반복된다는 것이다. 해안선의 길이는 유한한가? 위성에서 찍은 지구 사진을 보면 해안선이 부드럽게 이어지는 것처럼 보이지만 자세히 들여다 보면 굴곡이 이만저만이 아니라는 것이다.

<출처 : 위키피디아>

그건 알겠는데 그렇다고 길이가 어떻게 무한할 수 있나? 한반도의 해안선이 구불구불해봐야 한반도를 벗어나는 것도 아닌데 어떻게 무한할 수 있느냐 이 말이다.

<출처 : 위키피디아>

위의 그림을 보면 아주 간단히 설명된다.

우선 길이가 1인 선분이 있다. 이 선분을 1/3 등분 한 다음에 같은 길이가 되도록 선을 하나 넣어 톱니처럼 만든다.
그러면 그 길이는 4/3. 같은 행위를 각 선분마다 반복하면 선분의 길이는 초항이 1이고 공비가 4/3인 무한등비수열이 된다.
공비가 1보다 크기 때문에 바운더리는 매우 한정되어 있어도 그 길이는 무한히 길어진다는 것이다.

그럴 것 같기도 하고 그렇지 않을 것 같기도 하고...?

프랙탈 이론은 정수기나 공기청정기를 만드는데도 적용된다. 압축활성탄! 제대로 된 정수기나 공기청정기엔 숯으로 만든 압축활성탄이 어김없이 들어가 있다. 프랙탈 이론과 압축활성탄이 무슨 상관? 어떤 입방형의 입자를 생각해보자. 이 입자에 구멍(원기둥이나 직육면체 모양의 구멍)을 내면 표면적이 늘어난다. 계산해 봐도 되지만 잠시 생각만해도 그럴 것 같다. 이 구멍을 많이 내면 낼수록 표면적이 늘어난다. 정수기나 공기청정기는 물이나 공기를 필터링하는데 필터링 효과를 높이려면 압축활성탄의 면적이 커야되는데 이것이 한정된 부피에서 표면적을 늘리는 좋은 방법인 것이다.

인간의 지각 능력은 한계가 있다. 대상이 너무 커도 볼 수 없고 너무 작아도 안 보인다. 분자에서 원자, 원자에서 다시 원자핵과 전자, 원자핵에서 다시 양성자와 중성자... 파도파도 끝이없다. 이젠 끈이론이 나와서 끈이 만물의 근본이란다. 글쎄 과연 끈이 끝일까? 마치 늘 이번이 진짜 마지막이라고 하는 야바위 광고 같기도 하고...ㅎㅎㅎ