옵션

미래 특정 시점(maturity= 우리말 표현 만기)에 미리 정한 가격(strike price=행사가격)으로 지정된 기초자산을 매매할 수 있는 권리

ideal way to write a contract with people who want to do trading on information with not having a lot of money.

• 콜 옵션 (call option) 기초자산을 미리 정한 가격과 시점에 매수하는 선택권

call option is the right to buy a stock at the strike price at the given date.

• 풋 옵션 (put option) 매도의 선택권이 부여된 옵션

put option is the right to sell a stock at a high price that right is obviously worth something if the stock price falls.

강의에서 write the option 이야기가 나오는데 write 가 뭔지는 강의가 아닌 책에서 등장했다.

옵션 가격을 계산할 때 arbitrarge trading 이 없어야 한다. [우리나라 말로 무위험 이익이 발생하면 안된다.]

이러한 무위험 이익이 없도록 옵션 가격을 구하는 공식으로 "델타 헤징"법이 있다. 주가의 가치를 S 옵션의 가치를 C 라 했을 때 1단위의 옵선 계약을 매도하고 주식을 Delta 만큼 매입하는 포토폴리오를 작성하는 것이 이 델타헤징법의 핵심이다.

위의 경우 포토폴리오의 가치 Pi = Delta x S - c 가 된다. 주가 상승시의 포토폴리오의 가치와 주가 하락시의 포토폴리오 가치가 같다고 가정하고 [Delta 는 일정할 것이고 S 와 c 값이 달라질 것이다.] 이 때 포토폴리오의 가치가 같게 [arbitrage trading 이 없게] 끝 하여 Delta 를 구하고 이 구한 값으로 현재 옵션 가격인 c 를 구할 수 있다.

참고로 여기에 만기일까지의 이자율까지 고려하여 옵션 가격도 구할 수 있다.

강의에서는 먼저 그냥 Geometric Brownian motion 에서 바로 Black sholes formula 를 구했다.

잘 정리된 책을 보니

discount factor 를 이용해서 그냥 S_T, Lambda_T 의 솔루션을 집어넣어서 Gaussian integral 을 한 거군

사실 델타 헷징 방법에 Ito-lemma 를 쓰면 더 쉽게 구할 수 있다. [미분의 2nd order 를 고려]

다른 교재에서는 저 Pi 를 가지고 직접 표현하여 계산했는데 책에서는 C_T = max(S_T - X,0) 을 가지고 그냥 구했다.

저 방정식은 Heat equation 으로 변형할 수 있고 저 방정식의 해가 Geometric Browanian motion 으로 구한 C_0 값이랑 같다.