[선형대수학] echelon form에 대해 알아보자

안녕하세요!!
@chosungyun입니다.
오늘은 본격적으로 선형대수학의 첫 번째 주제를 포스팅하도록 하겠습니다.
바로 echelon form에 대한 소개입니다.

Echelon form
간단히 말하자면 Matrix, 행렬의 한 형태입니다. 한글로 번역하면 사다리꼴 행렬이라고 말합니다.
그렇다면 어떤 형태인가?
Matrix가 있으면 한 matrix의 대각선을 기준으로 위쪽에 0이 아닌 값들이 존재하고 그 아래는 모두 0이어서 값이 있는 곳들을 보면 사다리꼴 모양인 matrix를 말합니다.
이 matrix에서의 특징 및 명칭들을 이제 살펴봅시다.

우선 모양을 보면 뒤집혀 있는 사다리꼴 모양입니다.
그리고 ∎표시된 부분은 0이 아닌 값이 열을 기준으로 처음 나오는 값입니다. 그리고 이 ∎를 포함하는 열(column)을 leading entry라고 합니다. *또한 0이 아닌 값입니다.
이 echelon form은 다음과 같은 특징을 가집니다.
(앞으로 행은 row 열은 column이라는 영문표기를 따르겠습니다.)

• row를 기준으로 모든 element가 0인 rowsms 모든 element가 0이 아닌 row보다 아래에 있어야 한다.

그래야 사다리꼴을 보여줄 수 있겠죠?

• 각각의 leading entry들은 위의 row의 leading entry보다 오른쪽에 위치해야 합니다.

이것 또한 사다리꼴이 되려면 필요한 특징입니다.

• 각각의 leading entry column은 ∎아래의 element는 0이어야 한다.

이것 또한 마찬가지 입니다.

여기서 leading entry에서 column의 첫번째 값을 제외하고는 0이 되어야 합니다.
그리고 첫번째 값이 1이 되어야 합니다. 그래야 우리가 해석하기가 쉬워집니다.
이를 위해서 row reduction이라는 과정을 진행해야 합니다. 이를 진행한 echelon matrix를 row reduced echelon matrix라 합니다.

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그런데 이를 설명하기에 앞서 연립방정식 한 문제를 풀고 들어가겠습니다.

라는 세 방정식이 있습니다. 이때 a,b,c를 구하라고 하면 어떻게 하면 되죠?
우선 두번째 식에서 첫번째식을 빼보면 2b=14, 즉 b=7이 됩니다. 그리고 a는 3/2가 됩니다. 마지막으로 c는 5-7해서 -2가 됩니다.
이 과정을 행렬로 써볼까요?

마지막으로 해를 구한 값의 행렬로 표현해봅시다.

로 나오게 됩니다. 행렬로 보았을 때 대각선 element를 제외하고는 모두 0입니다.

이 연립방정식을 소개한 이유가 감이 잡히시나요? 우리가 진행할 row reduction이라는 과정은 위 예제와 비슷합니다.
즉, 방법은 간단하게 가장 위의 식인 첫번째 row를 기준으로 하며 그 밑에 식에서 구한 관계들을 대입하여 방정식을 간단하게 표현하게 되는 과정입니다.
이를 위해서 matrix에서는

interchange(0이 아닌 row가 위에 오도록 row 자리 바꿈),

row replacement(특정 값을 곱해 scaling을 해서 0이 되도록 만들기),

scaling(더하고 빼기)의 과정을 통해 계산합니다.

이것도 말로 설명하기보다는 예를 들어서 따라가보겠습니다.

라는 예제가 있을 때 첫번째 row의 첫번째 element가 0입니다. 0이 아닌값이 와야 하니까 interchange를 시켜줍니다.

두번째 row에서 첫번째 row를 빼면 두번째 row의 첫번째 element가 0이 됩니다. 이렇게 하면 첫번째 leading entry가 만족됩니다.

이번에는 세번째 row에서 두번째 row를 빼줍니다. 그럼 두번째 leading entry가 만족됩니다.

여기까지만 진행하면 echelon form이 나오게 됩니다.

그런데 row reduced echelon form을 만들려면 조금 더 계산을 해주어야 합니다. 왜냐하면 leading entry의 element가 1이어야 하기 때문입니다. 이때의 leading entry를 pivot column이라고 하는데 앞으로는 leading entry라는 말보다는 이 pivot column이 계속 나오니까 기억해두면 좋습니다. 그럼 계산을 마저 마무리 지어 보겠습니다.
다음으로 각각의 row의 첫번째 값이 1이 되도록 나눠 주겠습니다.

이 됩니다.

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이런 식으로 진행하는 과정이 row reduction입니다. 그리고 이 matrix form은 많은 의미를 담고 있습니다. 그래서 앞으로 소개될 matrix는 이 echelon form이 굉장히 많이 나올 거니까 중요하다는 거 알아주셨으면 좋겠습니다.
오늘은 여기서 포스팅을 마칩니다. 감사합니다!!

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“해당 포스팅에 사용한 이미지는 구글 이미지입니다”