[특수상대성이론] 로렌츠변환유도

안녕하세요 @chosungyun입니다.
오늘은 저번 포스팅 갈릴레이 좌표변환으로는 해결할 수 없는 빛의 속도문제 에 이어서 유도를 이어나가도록 하겠습니다.
저번 포스팅에 이어지는 내용으로 꼭 해당 포스팅을 읽고 와주시길 바랍니다.

A’계에서 빛의 world line을 본다면 아래 그림과 같다고 했습니다.

그럼 이 빛의 공간상의 이동거리는 다음과 같이 피타고라스 정리에 의해 성분 분해하여 나타낼 수 있습니다.

그런데 좌표변환에 의해 이 공간상의 길이는 바뀌지 않습니다. 그래서 변환에 의해 각이 변하더라도 이 길이가 일정해야 합니다.
그러기 위해서 아래 과정에 따라 식을 정리합니다.

여기서 세타값에 상관없이 성립하기 위해서는 괄호 안의 값이 각각 0이 되어야 합니다.
따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 초기조건을 다시 떠올려봅시다.

• 우리가 아는 값은 빛의 속도는 불변으로 c(30만km/s)로 일정하다.
• A계의 원점에 고정된 입자(대상)를 A’계에서 관측하면 음의 방향 속도 V로 움직이는 것으로 보일 것이다.(이것은 갈릴레이변환에서도 마찬가지임을 지난 포스팅에서 확인했습니다.)
• A’계의 속도 V가 갈릴레이변환에서 다루는 고전역학의 느린 속도로 근사하면 갈릴레이변환가 일치해야한다. (v=0 => a=1,b=e=0,d=1)

또한 처음에 A계의 원점에 고정된 입자는 (t,0,0,0)라고 표현할 수 있습니다.
그럼 A’계에서 보게 된다면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

그럼 x’을 t’으로 표현하면 다음과 같이 표현할 수 있겠죠?

그런데 x’=-vt’임을 초기조건을 통해서 알 수 있습니다.
그렇기에 e=-va임을 알 수 있습니다.

다시 아까 정리한 3개의 방정식을 보겠습니다.

여기서 세 번째 식에 위 값을 대입합니다.
그럼 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

여기서 v=0일 때 a=1이라는 초기조건을 이용해
+값만 있음을 알 수 있습니다.

그럼 자동으로 e=-va이므로 e는 다음과 같습니다.

여기서 구한 a와e를 두번째 식에 대입하여 다음의 결과를 얻습니다.

또 이 결과를 첫 번째 식에 대입하면 다음의 결과를 얻습니다.

여기서 d의 값을 구해야 마지막의 -가 결정되는데 d는 b와 다음의 관계가 있었습니다.

따라서

여기서 초기조건 v=0일 때, d=1이었으므로 d는 +값을 가져야 합니다.
따라서 b와 d는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

그럼 구한 a,b,e,d를 넣고 다시 matrix를 써봅시다.

여기서 구한 이 matrix가 로렌츠 변환 행렬입니다.

다만, 아직 조금 더 수정을 해야 합니다.
그 과정은 다음 포스팅에서 이어가도록 하겠습니다.
오늘은 여기서 마칩니다. 감사합니다!!

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“해당 포스팅에 사용한 이미지의 출처는 구글이미지입니다”