아침에 병원 갔다오고 머랄까 오늘은 어제보다 컨디션이 많이 나아졌네요 ㅎㅎ

@chosungyun 님의 선형대수 포스팅

[선형대수학] echelon form에 대해 알아보자 을 보고

계산쟁이인 저는 가우스 소거법과 관련된 몇가지 아름다운(?) 간단한(?) 행렬식 계산을 소개(?)까지는 아니고 행렬식 검색에 내 글이 나오면 좋겠다란 생각이 들어 몇가지 계산을 해보고 부랴부랴 포스팅을 해 봅니다.

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행렬식

일단 고등학교 때 2x2 행렬식 혹은 3x3 행렬식을 들어 본 적이 있습니다.

혹시 케일리-헤밀턴 정리가 기억나시나요?

2x2 행렬 A 와 단위행렬 E 가 다음과 같은 모양일 때

두 행렬과 각 행렬의 구성원 사이에는 다음과 같은 관계식이 존재하지요

A 의 계수는 trace 이고 E 의 계수는 determinant 인 이 식은 케일리-헤밀턴 정리로

학창시절 우리는 이를 이용하여 행렬의 정오판정 문제나 각종 성질들을 보이곤 했지요. [로피탈의 정리와 케일리-헤밀턴의 정리는 정규 교육과정에는 언급되어 있지 않지만 문제를 푸는데 소소한 도움을 주는(?) 도구였지요 ;ㅎㅎ

하지만 17년도 수능부터 행렬이 빠졌다고 하네요...

]

물론 저 행렬을 2x2 가 아닌 nxn 으로 확장할 수 있고 이는 선형대수학의 characteristic equation 를 예로 들 수 있습니다.

nxn 행렬 A 의 characteristic equation 은

determinant 로 표현됩니다. (여기서 I 는 단위행렬, t 는 매개변수)

characteristic equation의 성질이나 응용 등 할 말이 많지만 오늘 제가 꼳힌것은 행렬식이니 행렬식으로 갑시다.

2x2 의 행렬식은 잘 아니까 넘어간다고 치고, nxn 의 행렬에서는 어떻게 행렬식을 계산할까요?

행렬 A 를

이렇게 표현하면 permutation 을 이용한 행렬식은 다음과 같습니다.

이 표현식[Leibniz 의 방식] 을 설명하려면 symmetric group S_n 과 permutation group 을 설명해야 되서.. 일단 다음 기회로 미루도록 하죠.

이 방법 말고 동등한 행렬식의 표현 방법은 [ Laplace 의 방법 : Minor 를 이용하여 ]

이런 식으로 계산 할 수 있는데요

이 minor을 이용한 방법이 가장 흔하죠 3x3 를 예를 들어 봅시다.

minor 를 이용한 방법은 nxn 행렬식을 그보다 작은 크기의 행렬식을 이용해서 구하는 방법입니다.

4x4 로 확장해 보면

아무튼 이 방식은 행렬식을 우리가 쉽게 아는 2x2 혹은 3x3 으로 쪼개서 계산하는 방법으로 어느정도 효과가 있기는 합니다만 ㅋㅋㅋㅋㅋ

저 빈칸에 숫자들이 가득찼다고 생각하면 계산하기가 참 막막합니다.

물론 컴퓨터가 대신해준다고 생각하면 편하긴 한데...

ㅋㅋㅋㅋㅋ

가우스 소거법을 이용한 행렬식 계산

@chosungyun 님의 선형대수 포스팅

[선형대수학] echelon form에 대해 알아보자 을 보면 echelon-form 을 만들기 위해 가우스 소거법을 이용합니다.

행렬식의 아주 좋은 성질 중 하나는 정사각형 행렬에 대한 행렬식 결과는 이러한 가우스 소거법에 불변하다는 겁니다. 여기에 여인서 전개를 이용한 행렬식을 사용하면 0이 많으면 많을 수록 계산결과는 간단하게 적힐 수 있죠

즉 행렬식의 원 행렬에 가우스 소거법을 이용하여 0을 많이 만드는 과정은 echelon-form 을 만드는 과정과 정확히 똑같기에 따로 부연 설명을 하지는 않겠습니다.

말로만 하지 말고 바로 계산으로 가봅시다.

위 식을 한번 계산해 봅시다.

step step 이해가 가시나요?

그림판으로 표시를 해 봤습니다

뭐 사실 얘 정도면, 3x3 정도면 그냥 손으로 계산해도 되니까 그렇게 강력하다고 느껴지지는 않을지도 모르겠습니다.

이러한 determinant 문제 중에 아주 유명한 식 하나를 통해 이 계산 방식의 유용성을 살펴 보도록 하죠

Vandermonde determinant

이 Vandermonde 행렬식은 이렇게 생겨먹은 녀석입니다.

차수가 작은 녀석들의 경우 쉽게 계산이 가능하지만 n이 4보다 커지기만 해도 매우 복잡하게 느껴지지요.

한번 아래 문제를 계산해 봐보세요 ㅎㅎ

이 식은 Vandermonde 행렬식의 특수한 경우이지요. 가우스 소거법을 이용하면 쉽게(?) 보일 수 있습니다.

이왕 일반화된 식을 소개했으니 일반화된 식을 보이는 것으로 하죠

이 문제를 보이는 재밌는 방법들이 많이 있는데.. 그래도 그나마 중고교 때부터 많이 들은 친숙한 수학적 귀납법을 이용해서 보여 봅시다.

V_1 은 trivial 하고 V_2 도 쉽게 참인 걸 알 수 있습니다.

자 V_k 번째 결과가 참이라고 하고 V_{k+1} 결과를 구해봅시다. 과연 같은 형태로 적히게 될까요?

중간 중간 어떤 step 을 밟았는지 이해가 되셨나요?

이번에도 그림판으로 그림을 그려봅니다

[중간에 lambda 가 오타입니다. l 로 바뀌어야 됩니다]

결론

가우스 소거법은 이래서 중요합니다!

선형대수 계산의 핵심은 단연 가우스 소거법이죠!

참고문헌

위키피디아, determinant