[수학] 가위바위보와 확률(?)

나에게 [수학] 도박꾼의 파산 아이디어를 준 친구가 새로운 문제를 던져 주었다.

바로 가위바위보와 확률(?) 문제 ㅋㅋㅋ

일단 몸풀기부터 해보자.

일단 돈을 걸지 않고 게임을 해보자.

친구가 말한다.

두명이서 (너와 나) 가위 바위 보를 할 때 내가 이길 확률은 얼마나 될까?

ㅋㅋㅋㅋ

나는 답한다. 그걸 질문이라고 하냐 1/3 아니냐

사실 직관적으로 해당 게임의 결과는 이기거나 비기거나 지거나 이고 내가 무엇을 낼 것인지와 상대방이 무엇을 낼 것인지에 대한 확률이 같기 때문에

내가 무엇을 내던지 이길 확률도 질 확률도 비길확률도 1/3로 같은 값이 나온다.

자 친구 왈 그냥 가위바위보를 하면 재미가 없기에, 제약 조건을 두고 돈을 걸고 가위바위 보를 하자고 한다.

[가위바위보 도박]

친구가 계속해서 말한다.

자 나랑 너랑 가위바위보 도박을 하자. 내가 이기면 1달러를 너한테서 받고 지면 1달러를 너한테 주고 비기면 없는걸로 하자.

흠 ㅋㅋ 내가 큰맘먹고 나에게 불리한 조건 하나를 걸고 진행하도록 하지.

뭐로 하면 좋을까, 그래 난 바위를 내지 않겠어

그렇다면 너는 무엇을 내야 이 게임에서 최대의 이윤을 남길 수 있을까?

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바위를 내지 않는다니 ㅋㅋㅋ 나를 무시하는 건가

수학쟁이인 나는 종이를 들어 확률 계산을 시작했다.

사실 직관적으로 이 문제의 답은 뻔하다. [무엇인지 예상 가능한가?]

친구가 바위를 내지 않는다고 했으니 ㅋㅋㅋ

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

머랄까 보수적인 사람은 가위만 내겠지..

가위를 내면 비기거나 이기지 지지는 않을테니까

반면에 보자기만 선택하면 필패의 길을 가겠지

비기거나 지는 선택지니

바위만 선택하면 이기거나 질 확률이 반이군

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흠 그렇다면 나는 가위랑 바위만 내야겠군

이 비중을 얼마나 섞어서 내야 하는가?

내가 바위를 낼 확률을 a 라 하고(그러면 당연히 내가 가위를 낼 확률은 1-a 이다) 상대방 보자기를 낼 확률을 b 라 하자 (역시 상대방이 가위를 낼 확률은 1-b 가 된다)

그러면 이윤은

이 이윤을 최대로 하는 a 와 b 를 구하면 된다.

사뿐히 다른 변수를 상수로 취급하고 미분을 하면 놀랍게도 a=b=1/3 이 나온다.

즉 바위를 1/3 확률로 가위를 2/3 확률로 내면 이윤이 최대로 나온다는 것이 결론인데 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

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자 문제를 꼬아보자.

모든 정보가 공개되 있다고 생각하자.

이로부터 더 깊은 생각을 해보자.

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모든 정보가 공개되어 있으니 내 친구놈에게 무슨 꿍꿍이가 있을 것이다.

예전부터(?) 내 친구놈은 교활했다. [ㅋㅋㅋ 가상의 설정이다 ㅋㅋ]

이 게임의 룰은 나와 내 친구놈 모두에게 공개되어 있다.

즉 내 친구는 내가 어떻게 나올 것인지 예상을 하고 있을 것이다.

즉 그렇기에 나는 바위를 내는 빈도 수를 늘려야 이윤을 더 최대로 할 수 있을 것이다.....

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자 직관적으로 생각해보자.

내 친구의 입장에서는 가위를 내는 것이 손해를 최소화 하고

[ 계산 상으로는 앞에서 구한 보자기를 낼 확률이 b=1/3 이라는 것은 즉 가위를 낼 확률이 2/3 이 위의 입장을 설명한다. ]

나의 입장에서 역시 가위를 내는 것이 손해를 최소화 한다. [가위를 내면 최소한 비기거나 이기는 거니까]

상대방의 입장에서 가위를 내는 것이 최선의 선택이니 나는 바위를 내야겠다.

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자 생각하는 것을 멈추고

친구와 가위바위보를 시작했다.

가위, 바위, 보

뚜둥

나는 가위 바위 보에서 이겼을까? ㅋㅋㅋㅋㅋ

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ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

글을 쓰다보니까 문장력 실력이 부족해 산으로 갔는데 ㅋㅋㅋ

수학적 모델링과 게임이론에 대해서 이야기 하고 싶어서

이렇게 글을 쓰게 됬다.

즉 정보가 상대방과 나에게 모두 공개된 시점부터는 소위 말하는 "게임이론"의 관점에서 이 가위바위보 도박을 바라본 것이다.

상대방과 내가 정보를 동등하게 알고 있을 때, 나는 어떤 전략을 취해야 게임에서 승리할 수 있을지

거기에 대해 다루는 학문이 바로 게임이론이다.

위 문제의 접근법에는 크게 3가지가 있는데

1. 상대방이 아무런 생각이 없는 경우

2. 상대방이 같은 정보를 가지고 자신의 최적화 전략을 생각을 하는 경우

3. 상대방이 같은 정보를 가지고 전략을 짜는 나를 고려하는 경우

각각 부분에 해당되는 toy-model 들이 있고 각각에 대한 여러 변수들을 최적화 하는 학문이 바로 게임이론이다.

위의 문제에서는 크게 1번 2번만 다루었다.

실전에서는 결국 고도의심리 싸움이 되지 않을까 싶다 ㅋㅋㅋㅋ

설마 동체시력?의 변수가 존재하려나?

rock paper scissor lizard spcok 이나 하자 ㅋㅋㅋㅋ

[관련 설명 영상 -빅뱅이론 유투브 영상을 첨부한다 ㅋㅋ]