[수학] 도박꾼의 파산

지난번 포스팅에 이어 또 페르마가 등장한다.

페르마는 정말 쉬워 보이는 문제를 다른 이들에게 제시하곤 했는데 그 쉬워 보이는 문제는 막상 보면 쉽게 풀리지가 않았다.

몇 친구들에게 어려운 특수함수나 기하학 내용 말고 고등학교 수준에서 먼가 멋있어 보이는 그런 수학 내용을 써 달라는 요청을 받았다.

그 친구들에게 이 문제를 던진다.

이번 포스팅의 기원은 엊그제 친구가 던져준 문제에서 시작된다.

내가 5달러가 있고 너가 10달러가 있는데, 동전을 던져 앞면이 나오면 내가 너한테 1달러를 주고 뒷면이 나오면 너가 나한테 1달러를 준다고 할 때, 내가 이 게임을 이기게 될 확률은 얼마나 되냐?

5달러, 10달러가 거추장 스러웠던 나는 먼저 다음과 같이 문제를 바꾸었다.

내가 5 1달러가 있고 너가 10 2달러가 있는데, 동전을 던져 앞면이 나오면 내가 너한테 1달러를 주고 뒷면이 나오면 내가 너한테 1달러를 준다고 할 때, 내가 이 게임을 이기게 될 확률은 얼마나 되냐?

이정도면 충분히 손으로 계산할 수 있다.

이 문제의 답은 1/3 이고 이를 바탕으로 위의 문제도 1/3 이라는 것을 도출했다.

사실 이는 이기거나 질 확률이 같기 때문에 비례로 쉽게 보인 것인데

그 실상은 사실 매우 복잡하다 ㅋㅋㅋㅋ

그 복잡한 사정을 설명하려다가 기록으로 남기면 좋을 것 같아 포스팅을 하게 되었다.

대게 복잡해 보이는 문제는 단순화 하거나 아니면 오히려 일반화를 하면 쉬워진다.

일단 이 문제를 일반화 해 보는데 처음 소지금이 달라지면 어떻게 되는지에 대해서 생각해보자.

내가 5 a 달러가 있고 너가 10 b달러가 있는데, 동전을 던져 앞면이 나오면 내가 너한테 1달러를 주고 뒷면이 나오면 너가 나한테 1달러를 준다고 할 때, 내가 이 게임을 이기게 될 확률은 얼마나 되냐?

내가 게임에 이길 확률은 a/(a+b), 너가 게임에 이길 확률은 b/(a+b) 가 된다.

ㅋㅋㅋㅋ 일단 답만 적는다. 1/2 이라는 확률 때문에 사실 위의 확률은 직관적으로도 생각할 수 있다.

동등한 확률을 가지고 있다면 결국 초기 자본금에 의존한다는 것이 이 문제의 핵심이다.

이 문제를 좀 더 일반화 해보자. 동전은 1/2 확률을 가지고 있으니까, 이길 확률을 p 질 확률을 q 라 해보자.

그러면 이 문제는 다음과 같이 바뀐다.

나에게 a 달러가 있고, 너는 b 달러가 있는데, 내가 이길 확률이 p인 도박 게임을 통해, 내가 이기면 1달러를 너한테서 받고 지면 1달러를 준다고 할 때, 내가 이 게임을 이기게 될 확률은 얼마나 되는가?

사실 맨 처음의 문제는 페르마가 친구 파스칼에게 보낸 편지의 내용을 살짝 수정한 것이다.

그리고 맨 마지막 문제는 이를 일반화 한 것으로 소위 도박꾼의 파산 이라는 문제이다.

사실 (1,2) 같은 경우에 나같이 계산 노가다를 좋아하는 사람이라면 그냥 무작정 덤벼들어서 계산할 수 있다. [앞으로 나오게 될 (1,2) 는 (a=1, b=2) 를 의미한다]

무슨 말이냐면 (1,2) 같은 경우

두번 연속 이기거나, 한번 지고 두번 연속 이기는 경우, 첫번째 지고 두번째 이기고 세번째 지고 4,5,6 이기고 등등..

이 경우의 수를 보면 초항이 (1/2)^2 이고 공비가 (1/2)^2 인 무한 등비급수 수열의 합이라는 것을 생각할 수 있고 이것으로 1/3 답을 얻을 수 있다.

이러한 풀이는 (1,N) 의 경우에는 쉽게 일반화가 되는데,

(2,N) 만 해도 엄청 복잡한 조합을 떠올려야 한다.

그래서 이러한 직접적인 방법은 여기서는 별 힘을 발휘하지 못한다.

이러한 직접적인 방법 말고 가장 교과서 다운 풀이는 점화식을 이용한 풀이이다.
[사실 포함과 배제의 원리라 보아도 무방하다]

자 여러번 풀이를 쓰기가 귀찮으니까, (a,b) 의 경우로 가보자.

내가 a 달러를 들고 게임을 이긴다면 최종적으로 나는 a+b 원을 들고 있을 것이다.

이때 이길 확률을

이렇게 확률을 정의하면 정의 그 자체로

를 얻는다. 소지금이 0원이면 지는 것이니까 이길 확률이 0일 것이고 상대방의 b 원을 다 빼앗아 a+b 원이 됬다는 것은 이겼다는 것이니까 그 상태에서 경기가 끝났기에 이길 확률이 1이 되는 것이다.

자 이제 조금 깊게 생각해 보자.

a 원을 들고 이길 확률을 재 해석해 보자.

첫번째 게임이 시작됬다. 게임이 이길 경우, 나는 a+1 원을 들고 있을 것이다. 이 시점에서 내가 최종 게임을 이길 확률은 P_{a+b}(a+1) 이 된다.

게임이 질 경우 나는 a-1 원을 들고 있을 것이다. 이 시점에서 내가 최종 게임에서 이길 확률은 P_{a+b}(a-1) 이 된다.

이 두 사건은 동시에 일어나지 않기에, 저 위의 관계를 쉽게 생각할 수 있다. [ 결국에 이 것이 포함과 배제의 원리의 기본 아이디어이다. ]

자 이제 식을 수정하여 계차 수열 처럼 정리한뒤 계속 반복하면 된다.

이런 식으로 말이다.

자 이것으로 부터 거꾸로 원 식을 구할 수 있다.

[다른게 아니라 telescoping 흠
a-b = 1
b-d = 2
d-e=3

... 이런 식을 다 더하면 결국엔 a- last term = 1+2+3+.... 이 된다는 것이다.

]

결국에 이 문제는 P_{a+b}(1) 를 구하는 문제로 바뀐다. 이는 바로 앞에서 말한 (1,N) 의 확률을 구하는 문제로 바뀐다. 이는 직접 계산으로 구할 수 있는데 이왕 초기조건이 있는 점화식 문제로 접근했으니 초기조건을 이용해 구해보자.

이 때 p=q=1/2 이면 재밌는 일이 생긴다. 같은 경우(p=q) 와 다른 경우로 나누어서 구해보자.

이를 거꾸로 대입하면

자 이제 다시 처음 두 문제로 돌아가보자

내가 왜 (5,10) 을 구하는 문제를 (1,2) 만 계산해서 구했는지 이해가 되는가?

사실 이 문제는 도박은 필패한다 라는 것을 알려주는
우리에게 소중한 교훈을 주는 문제이다.

이길 확률이 동등한 조건에서 도박을 해도 초기 자본금이 적으면 필패하는데
이길 확률이 더 안 좋은 조건에서는...

ㅋㅋㅋㅋㅋ

그런데 더 무시무시한 것은 기대값이 0이 아닌 경우로 문제를 확장하면
이 문제가 매우 어렵게 적힌다는 것이다.

역시 도박은 하지 않는것이 좋다. ㅋㅋ