[수학] 리대수와 리군

수학은 여러 분야로 나누어져 있는데 그 중에서도 내가 가장 관심이 있었던 분야는 기하학, 그 중에서도 다양체론이다. 예전에 한참 하던일과 연관이 되어 있었으니까.. 남들은 열심히 formal 한 것들을, fancy 한 정리들을 성립하고 나아가는 와중에 나는 열심히 노가다(?)를 통해 기하계산을 하던 내 과거가 떠오른다.

반면 수학에서 내가 가장 관심이 없었고 힘들었던 분야는 대수학이다. 사실 고등학교 때 까지만 해도 3차방정식의 일반해 공식 유도에만 집중했고, 4차, 5차 고차 방정식의 이론들은 그냥 이름만 알고 있었고, 대수학 수업도 이런 2차, 3차 방정식의 해를 푸는 것과 즉 계산 하는 것과 연관되어 있을 거라고 생각했다. ㅋㅋㅋㅋㅋ 머랄까 적분과 계산만 좋아하던 나에게 먼가 추상적으로 어떤 것들을 정의하고 거기서 나아가 이론들을 만들어내는 그런 대수학이 어렵게 느껴질 수밖에 없었다. 대수학과 그 관련 과목들은 처음엔 그 많은 정의와 정리들을 기억해도 금세 생소해지고.... 분명 들었고 배웠는데 뭐 편히 그걸 가지고 증명이나 계산하지를 못하니... [ㅋㅋㅋ 실력을 쌓아야 되는데 ㅋㅋㅋ ㅠㅠ]

요새 일로 바쁜 와중에 시간을 틈틈이 내서 다시 대수학 책을 펼쳐보고 있다. 군, 환, 체 ㅋㅋㅋ 갈루아 체가 다시 등장하면서 예전의 그 혼란이 다시 찾아오고 있다 ㅋㅋㅋㅋ

이런 대수와 기하가 만나는 분야가 바로 리군, 리 대수, 리 이론이다.

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리군과 리 대수는 exponential map 으로 연결되어 있다.
즉 리군의 정의와 모양을 알면 이로써 리 대수의 모양을 구할 수 있다는 것이다.

몇가지 리군에 대해서 한번 거기에 대응되는 리 대수를 구해보자. 이게 이번 포스팅의 목적이다.

먼저 일반적으로 대문자(SU)는 리군을 소문자(su)는 리 대수를 뜻한다. 반면 거기에 해당되는 원소는 리군의 경우 소문자(g) 를 리 대수의 경우 대문자 (Z) 를 사용한다.
그냥 convention 이다.

1 . SU*(2n)

SU*(2n) 의 정의를 수식화 하면 다음과 같다.

즉 저런 map \psi 와 commute 하며, determinat 값이 1인 원소를 말하는데 말로 풀어서 설명하자면

이를 통해서 거꾸로 리대수 su*(2n) 의 원소를 구할 수 있다.

즉 저 위의 조건은 다름이 아니라

참고로 저 두번째 식은 exponential map 과

로 자연스럽게 얻어진다.

자 A 는 2nx2n 행렬로 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 각각의 A_i 들은 nxn 복소 행렬이다. 위의 map psi 는 nx1 행렬 U,V 에 대해서

즉 구조적으로 대응되는 관계식을 만족한다.

자 이제 저 A 의 구체적인 형태에 대해서 알아보자, 즉

를 성립하는지 test matrix 를 도입해서 계산해 보도록 하자.

위 두 식을 등식으로 하면

즉 이로부터
여기에 traceless 한 조건,

2 . Sp(n,C)

좀 더 자세히 말로 풀어써 보자

이로부터 리 대수의 관계식을 도출해보자,

먼저 exponential map 을 생각해 보자, 리 군의 원소와 리 대수의 원소는 다음과 같은 관계에 있다.

에 대해

즉

이 계산 과정 중에는

자 위의 과정과 비슷하게

여기서 각각 Z_i 는 nxn 복소 행렬이다.

관계식에 넣어서 한번 각 행렬의 형태를 알아보자

즉 이로부터

를 얻고 여기서 Z_2, Z_3 는 대칭행렬이라는 것을 얻었다.

로 부터 위 행렬의 trace 값이 0 이 됨을 쉽게 볼 수 있다.

3 . SO(p,q)

똑같은 방식으로, 리대수의 경우에

를 얻는다.

여기서 X_1 은 p x p, X_2, X_3 는 pxq X_4 는 qxq 행렬로 전체 행렬 X 는 (p+q)x(p+q) 형태를 갖는다.

관계식으로부터

즉

skew symmetric 행렬의 경우 traceless 함(tr X_1 = tr X_4=0) 으로 위 경우는 자동적으로 traceless 하다.

4 . SU(p,q)

마찬가지로

즉

Z_1 과 Z_3 는 skew Hermitian 행렬로 각각 pxp, qxq 사이즈를 가지고 trace 성질로 인해

를 추가로 만족시켜야 한다.

5 . Sp(p,q)

이게 그 위의 것들 중에 가장 형태가 좀 복잡하긴 하다.

자 는

뒤에 X 표현은 후일을 위해 표현한 것으로 일단 Z 성분들로 관계식을 정리해보면

왜 저 X 식을 썼느냐, 바로 정의에 의해 이 원소 역시 성분이기에 X 로 표현한 식은

여기서 X_2, X_3 는 대칭으로 위에서 구한 대수 표현이다. 즉 이를 적용해 Z 성분들을 구해보면

즉

Z_11, Z_22 는 맨처음 constraint 로부터 skew-hermitian 이다.

skew hermitian matrix A 에 대해서 A와 그 conjugate 항은 traceless 임으로

위 행렬 Z 역시 traceless 이다.

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이 외에도 할만한 것들이 더 많은데 이쯤 까지만 정리하도록 하자.