I FRATTALI: L’ARCHITETTURA DELLA NATURA

COS’E’ UN FRATTALE?

Un Frattale è un ente geometrico-matematico che gode della proprietà di omotetia interna, ossia della peculiarità di ripetere la propria forma su scale diverse in teoria all’infinito. Appartiene dunque alla categoria delle figure geometriche NON EUCLIDEE per cui rientra in una fattispecie di figure della cosiddetta Geometria Frattale che studia appunto queste strutture, frutto di una applicazione matematica ricorsiva e spesso riscontrabile nella progettazione ingegneristica di reti e nello studio del Moto Browniano delle particelle, nella teoria del caos e nello studio dei Sistemi Dinamici.

Immagine CC3.0 Creative Commons Author: Wolfgang Beyer, Insieme di Mandelbrot

Il nome fu coniato dal matematico Benoìt Mandelbrot che studiò queste strutture cercando di fornire spiegazioni ad alcuni comportamenti matematici di natura caotica, studiando la conformazione delle coste. La differenza sostanziale che caratterizza questi oggetti geometrici dalle altre figure è che mentre queste ultime vengono descritte matematicamente da funzioni come il luogo geometrico dei punti che soddisfano l’espressione analitica, i frattali invece vengono generati da algoritmi ricorsivi di natura per lo più polinomiale a coefficienti complessi.

Immagine CC3.0 Creative Commons Author: Fibonacci, riproduzione della Curva di Koch

Tra le forme frattali più famose ed importanti vanno menzionate la Curva di Koch, una figura a cristallo, frutto di un gioco di costruzione consistente nella divisione dei lati di un triangolo equilatero in tre segmenti uguali e poi sostituiti con due segmenti , il tutto ripetuto ricorsivamente all’infinito, restituendo cosi una forma estremamente complessa ed unica nella sua bellezza.

Va altresì ricordato il Frattale di Mandelbrot, altra figura geometrica di grande bellezza e molto complessa che si ottiene applicando ricorsivamente la seguente successione:

Un parametro importantissimo per misurare tali figure è la Dimensione Frattale, che indica il grado di irregolarità associata al frattale. Differentemente dalla geometria classica, dove il concetto di dimensione è abbastanza intuitivo, per la geometria frattale non può adattarsi lo stesso concetto di dimensione topologica in quanto essendo un frattale generato da un algoritmo, dunque la dimensione dipende dal numero di iterazioni effettuate per ottenere la figura, inoltre la figura frattale è definita struttura fine perché ad ogni ingrandimento rivela più dettagli.

La definizione rigorosa di Dimensione Frattale, secondo la definizione fornita dai matematici Kolmogorov-Hausdorff è la seguente:

Si misuri un insieme di punti A con un'unità di misura h ogni volta più piccola e si chiami N(h) il minimo numero di segmenti (se il frattale è costituito da punti appartenenti ad una stessa retta) - o in generale di figure a k dimensioni se il frattale è costituito da punti tutti appartenenti ad uno spazio R^k - necessari per coprire per intero la figura, si definisce capacità di A:

Esistono diverse famiglie di frattali:

• Frattali lineari
• Frattali non lineari
• Frattali aleatori

I frattali lineari sono caratterizzati da una equazione polinomiale generatrice del primo ordine. I frattali non lineari invece sono caratterizzati da un equazione generatrice di ordine superiore al primo, ne è un esempio l’equazione di Gaston Julia:

Le categorie di frattali elencate finora possono essere considerate di tipo deterministico in quanto le figure che vengono prodotte sono generate da espressioni matematiche note e ben definite, i frattali aleatori invece non sono regolati da un’espressione matematica bensì da un procedimento aleatorio per cui la loro costruzione è definite da una legge di distribuzione come può essere quella del metodo dello spostamento dei punti medi applicato ad esempio ad un triangolo giacente su un piano arbitrario. Questo metodo di costruzioni di superfici viene adoperato in molti campi e soprattutto per la rappresentazione topografica di catene montuose oppure per ottenere modelli matematici per l’erosione del suolo terrestre che dunque porta alla formazione di faglie.

L’INSIEME DI MANDELBROT

Immagine CC0 Creative Commons

Come già accennato, il frattale più importante e conosciuto è L’insieme di Mandelbrot che merita una trattazione più approfondita.
Esso è definito come l’insieme de punti c ∈ C tali che, posto , la successione risulta limitata.
Gli studi effettuati su questo insieme hanno portato alla definizione di un campo di potenziale elettrostatico dell’insieme di Mandelbrot, fornendo cosi un primo strumento di misura del potenziale elettrostatico presente in un insieme di punti. Si immagini che l’insieme sia dotato di carica elettrica, collocando un a carica puntiforme all’esterno dell’insieme e misurando la forza elettrostatica agente sulla carica si potrebbe misurare il potenziale elettrostatico dell’insieme, il risultato della misurazione è legato alla successione

Una delle proprietà più interessanti dell’insieme di Mandelbrot è che esso viene considerato come un deposito di immagini di infinita efficienza, in quanto ingrandendo l’insieme intorno ad un punto c situato sulla frontiera, si nota che la figura che si ottiene non è altro che l’insieme degli elementi costitutivi di un insieme di Julia corrispondente al punto c.

CONCLUSIONE

La bellezza della natura, della complessità delle sue forme e delle sue strutture, affascina gli studiosi di tutto il mondo e rende il genere umano sempre più consapevole della realtà in cui vive, imparando a conoscerla e a interagire con essa. L’utilità del linguaggio matematico, nonché la sua bellezza e la sua oggettività, consentono di descrivere i fenomeni naturali con estrema precisione, tuttavia come si può evincere dal post, anch’essa ha delle limitazioni, dettate dalla natura computazionale umana che man mano si amplia sempre più grazie all’ausilio delle macchine informatiche, che consentono di poter misurare svariate grandezze fisiche e di svolgere compiti non plausibilmente effettuabili dall’uomo. D’ora in poi spero guardiate la natura con occhi diversi, come quelli di un bambino che appena nato si accinge a scoprire la meraviglia che questa realtà offre ai suoi occhi, e la complessità delle forme e delle strutture che possono nascondersi in una semplice foglia.

FONTI:

Ecco perchè non possiamo fare a meno del Pi Greco
Geometria Frattale
I frattali e la Natura
Rassegna fotografica di Frattali

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_{Immagine CC0 Creative Commons, si ringrazia @mrazura per il logo ITASTEM.
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