CONTEST // ∑∑Remembering MATH∑∑ // Problem#2

Results and a new task.
Despite one winner @ir3k, my results dragged on. When I was sketching a solution to a problem on a draft, I was mistaken, thinking that I had found a solution. And when I began to draw up a decision, I could not remember how I came up with it then. I wanted to solve it at the 7th grade level.
10 STEEM sent to @ir3k

Итоги и новая задача.
Несмотря на одного победителя @ir3k мои итоги затянулись. Я когда делал набросок решения задачи на черновике ошибся, думая что нашёл путь решения. А когда стал оформлять решение - не смог вспомнить как тогда придумал. Хотел решить на уровне 7го класса.
10 STEEM отправлено @ir3k

In order to be able to describe a circle around a BFGC quadrilateral, it is necessary that the opposite angles be given in the sum of 180 °. At least one pair if the sum was 180 ° (the other will also be 180 °, because the sum of all angles of the quadrilateral is 360 °)
The angle B is straight, 90 °, so it is necessary that the angle G be straight.
∠FDC = ∠DFA, as internal manifolds for parallel lines AB, DC and January DF, * (∠CED = ∠ECB as internal manifolds for parallel lines AD, BC and January EC) , blue in the figure.
The right triangles DAF and CDE are equal, as the legs are equal ( or on both sides and the angle between them (straight) *) - so the equal angles ∠ADF (∠EDG) = ∠DCE in the figure are red.
And the triangles DGE and DAF are similar (at two angles) - it turns out that ∠DGE is straight, and the vertical angle ∠CGF will be straight for it.
∠CGF = 90 ° and ∠CBF = 90 °, the sum of the opposite angles ∠CGF and ∠CBF of the quadrilateral is 180 °, so a circle can be described around it.

Для того чтобы вокруг четырехугольника BFGC можно было описать круг, необходимо, чтобы противоположные углы давали в сумме 180 °. Хоть одна пара бы в сумме была 180 ° (другое тоже будет 180 °, поскольку сумма всех углов четырехугольника 360 °)
Угол В - прямой, 90 °, следовательно надо чтобы и угол G был прямой.
∠FDC = ∠DFA, как внутренние разносторонние для параллельных прямых AB, DC и секущей DF, * (∠CED = ∠ECB как внутренние разносторонние для параллельных прямых AD, BC и секущей EC) * на рисунке синие.
Прямоугольные треугольники DAF и CDE уровне, так как равные катеты (* или по двум сторонам и углу между ними (прямым) *) - значит равные углы ∠ADF (∠EDG) = ∠DCE на рисунке красные.
А прямоугольные треугольники DGE и DAF подобные (по двум углам) - получается что ∠DGE прямой, прямым будет и вертикальный для него угол ∠CGF.
∠CGF = 90 ° и ∠CBF = 90 °, сумма противоположных углов ∠CGF и ∠CBF четырехугольника равна 180 °, следовательно вокруг него можно описать окружность.

Drop from the point G the perpendiculars GH to the side AB, and GK - to BC.
The quadrilateral HGKB is a rectangle, (three angles are straight and therefore the fourth is straight, because the sum of all angles of a quadrilateral is 360 °)

∠HGF = ∠ADF as the corresponding angles for parallel lines AD and GH.
∠KGC = ∠DCE as internal one-sided angles at parallel lines DC and GK, and ∠DCE = ∠ADF, and ∠ADF = ∠HGF - means ∠KGC = ∠HGF.

And here carefully - to avoid confusion!

Denote for simplicity ∠KGC = ∠HGF = α (all red corners), blue - β = 90 ° -α

∠FGK = 90 ° -α = β,
∠FGK + α = ∠FGC = 90 °
α + ∠FGK = ∠HGK = 90 °
.... and I got confused, as if lost in the woods, all the time circling around these perpendicular lines. Isosceles .. why is it isosceles?

I really wanted to solve this problem at the level of a seventh-grader, I couldn't ...

Will have to go up to the eighth grade. Through ** sin α **

Опустим из точки G перпендикуляры GH к стороне AB, и GK - до BC.
Четырехугольник HGKB - прямоугольник, (три угла прямые следовательно и четвертый прямой, поскольку сумма всех углов четырехугольника 360 °)
∠HGF = ∠ADF как соответствующие углы при параллельных прямых AD и GH.
∠KGC = ∠DCE как внутренние односторонние углы при параллельных прямых DC и GK, а ∠DCE = ∠ADF, а ∠ADF = >∠HGF - значит ∠KGC = ∠HGF.
А здесь внимательно - самому бы не запутаться!
Обозначу для простоты ∠KGC = ∠HGF = α (все красные углы), синие - β = 90 ° -α
∠FGK = 90 ° -α = β,
∠FGK + α = ∠FGC = 90 °
α + ∠FGK = ∠HGK = 90 °
.... и я запутался, как заблудился в лесу, все время кружит вокруг этих перпендикулярных прямых. >Равнобедренный .. почему он равнобедренный?
Очень хотелось решить эту задачу на уровне семиклассника, никак не удалось ...
Придется подняться до восьмого класса. Через ** sin α **

GB hypotenuse GKB, GB² = KB² + GK²
KB = CB-CK, CB = 10, KB = 10-CK, CK is found with △ CKG, SC = GC * sin α,
GC is found with △ DGC.
GC² = DC²-DG² = 10²-DG², DG = DC * sin α
GK² = GC²-CK² = 10²-DG²-CK²
It remains to find sin α!

sin α = DE / EC = 5 / EC, EC = √ (DE² + DC²) = √ (100 + 25) = √125 = 5√5
sin α = 5 / (5√5) = 1 / √5 = √5 / 5

DG = DC * sin α = 10 * √5 / 5 = 2√5 cm

GC² = DC²-DG² = 10² - (2√5) ² = 100-20 = 80, GC = √80 = 4√5 cm

CK = GC * sin α = 4√5 * √5 / 5 = 4 cm
KB = CB-CK = 10-4 = 6 cm
The triangle with legs 4 cm and 6 cm is Egyptian, so the hypotenuse is 10 cm.
Answer: GB = 10 cm.

Problem #2

The bases of the trapezoid are 9 and 21 cm, its height is 8 cm. Find the radius of the circumscribed circle.

1. Send the answers in 24 hours to give others the opportunity and think well about the task. The answer is just a comment or a comment with a link to your post-solution problem, post a comment to this post.
2. Design of the decision any: from GeoGebra to a sheet of paper with a pencil or the pen. Of course, you need a desirable reasoned answer, although everyone was in math class many years ago.
3. Post the title "Remembering MATH. My solution problem # 2" in the community Steem-BRU (BY-RU-UA), tag # rememberingmath02 In your post, invite a friend to solve the problem and a link to the post with the task.
4. Post in any language - the main thing is the speech of mathematics.
5. Date from 06.10.2021 to 11.10.2021 inclusive.
   The 5 STEEM reward will be distributed among the participants.

GB гипотенуза GKB, GB² = KB² + GK²
KB = CB-CK, CB = 10 KB = 10-CK, CK найдем с △ CKG, СК = GC * sin α,
GC найдем с △ DGC.
GC² = DC²-DG² = 10²-DG², DG = DC * sin α
GK² = GC²-CK² = 10²-DG²-CK²
Осталось найти sin α!

sin α = DE / EC = 5 / EC, EC = √ (DE² + DC²) = √ (100 + 25) = √125 = 5√5
sin α = 5 / (5√5) = 1 / √5 = √5 / 5

DG = DC * sin α = 10 * √5 / 5 = 2√5 см

GC² = DC²-DG² = 10² - (2√5) ² = 100-20 = 80, GC = √80 = 4√5 см

CK = GC * sin α = 4√5 * √5 / 5 = 4 см
KB = CB-CK = 10-4 = 6 см
Треугольник с катетами 4 см и 6 см египетский, значит гипотенуза 10 см.
Ответ: GB = 10 см.

Задача #2

Основания трапеции равны 9 и 21 см, её высота 8 см. Найти радиус описанной окружности.

1. Ответы присылайте через 24 часа, чтоб дать возможность другим, и себе хорошо подумать над задачей. Ответ - просто комментарий или комментарий со ссылкой на ваш пост-решения задачи Размещая комментарием к этому посту.
2. Оформление решения любое: от GeoGebra к письму бумаги с карандашом или ручкой. Конечно что надо желательно аргументированный ответ, хоть все были на уроке математики много лет назад.
3. Пост озаглавить "Remembering MATH. My solution problem # 2" разместить в сообществе Steem-BRU (BY-RU-UA), тег # rememberingmath02 В своем посте пригласить одного друга к решению задачи и ссылку на пост с задачей.
4. Пост на любом языке - главное речь математики.
5. Дата проведения с 06.10.2021 по 11.10.2021 включительно.
   Вознаграждение 5 STEEM будет распределен между участниками.