Konstruktion ertragsgesetzlicher Kostenfunktionen

Abstract

In ökonomisch angewandten Analysisaufgaben taucht oft eine sogenannte "ertragsgesetzliche Kostenfunktion" in Form eines Polynoms dritten Grades auf. Dieser Artikel geht der Frage nach, welchen Relationen die Koeffizienten des Polynoms gehorchen müssen, damit die Kostenfunktion ertragsgesetzlich ist.

Einleitung

Eigentlich wurde der Begriff "ertragsgesetzlich"' zuerst auf Produktionsfunktionen in der Landwirtschaft angewendet. Er beruht auf der Beobachtung, dass mit zunehmender Düngerverwendung der Bodenertrag bis zu einem bestimmten Punkt ansteigt, danach aber zusammenbricht. Dasselbe gilt für den Arbeitseinsatz. Zunächst steigt der Ertrag mit zunehmendem Arbeitseinsatz an. Sind jedoch zuviele Arbeitskräfte eingesetzt, fällt der Ertrag in sich zusammen. Das kennt man auch in der Softwareindustrie unter dem Namen "Brook'sches Gesetz": `Adding manpower to a late software project makes it later'
Wir wollen hier den Begriff auf Kostenfunktionen übertragen, z.B. in der Produktion eines einzigen Gutes. Die Produktionskosten nehmen mit zunehmender Produktionsmenge zu, sind also streng monoton steigend. Ein lineares, proportionales Anwachsen ist aber unwahrscheinlich. Meist beobachtet man zunächst ein degressives Anwachsen, d.h. dass die Grenzkosten monoton fallen. Ab der sogenannten Kostenkehre steigen die Produktionskosten aber progressiv an. Es wird dann immer teurer, eine Einheit mehr zu produzieren.
Natürlich hat der neoklassische Ansatz der ertragsgesetzlichen Kostenfunktionen, Gleichgewichte und Grenzkosten mit seinen Optimierungsbemühungen einigermassen ausgedient, weil er die Dynamik und asymmetrische Information moderner Volkswirtschaften unberücksichtigt lässt. Nichtsdestotrotz ist die neoklassische Mikroökonomie geeignet, um elementare Analysis in einen angewandten Kontext zu stellen.
Ertragsgesetzliche Kostenfunktionen lassen sich auf viele Weisen konstruieren. Fragen wir nach der einfachsten, so wird es vermutlich ein Polynom dritten Grades sein, . Die zu produzierenden Mengeneinheiten sind dabei mit x bezeichnet.

Unser Hauptproblem ist hier: Gib Bedingungen für die Koeffizienten a, b, c und d an, damit die Kostenfunktion

(1)

ertragsgesetzlich ist!

Eine Kostenfunktion interessiert nur im Bereich , denn man kann nicht eine negative Menge produzieren. Zudem ist eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion (streng) monoton steigend. Ein Sattelpunkt ist zwar denkbar, aber eher unrealistisch. Es genügt, wenn wir uns fragen, welche Relationen zwischen den Koeffizienten bestehen müssen, damit die Kostenfunktion monoton steigend ist.

Die Koeffizienten a und d

Der Koeffizient d bezeichnet die fixen Kosten. Er bewirkt lediglich eine Verschiebung entlang der y-Achse und hat keinen Einfluss auf die Form der Funktion. Wir können also von der Funktion

(2)

ausgehen.

Der Parameter a muss positiv sein, denn die Kosten sollen für zunehmende x wachsen, und für ein Polynom dritten Grades gilt

falls

und falls

Die Koeffizienten b und c

Die Kostenkehre ist im Wendepunkt von (2):
(3)
(4)

und somit bei

(5)

was bedeutet.

Über die Monotonie gibt die erste Ableitung (3) Auskunft. Sie muss stets positiv sein, d.h. also keine Nullstellen haben, allenfalls mit Ausnahme in einem Sattelpunkt. Das ist für

oder

(6)

der Fall, mit Gleichheit für einen Sattelpunkt.

Kostenkehre gegeben

In der Praxis sind die Kosten einer zu produzierenden Stückzahl bekannt, nicht aber die Koeffizienten a, b und c. Auch für die Erstellung von Aufgaben gehen wir gerne von einer Produktionsmenge und ihren variablen Produktionskosten aus. Eine praktische Menge ist gerade die Kostenkehre .
Wenn wir also die Kostenkehre kennen, so erhalten wir die Bedingungen

Fragt sich nun noch, was wir für den Koeffizient a einsetzen, wenn z.B. die Stückkosten in der Kostenkehre gegeben sind.

Die Kosten in der Kostenkehre betragen , oder, unter Berücksichtigung von (5)
(7)

Wenn wir angeben, wie viele Stück zu welchem Stückkosten

(8)

in der Kostenkehre produziert werden sollen, so erhalten wir . Das bestimmt

(9)

Die Grenzkosten der Kostenkehre

Da in (6) Gleichheit für einen Sattelpunkt gegolten hat, ist zu vermuten, dass es sich beim Defekt
(10)
gerade um die Steigung der Wendetangente handelt.

Um das einzusehen, ersetzen wir in (8) den Parameter durch (10)
und erhalten oder

(11)

Für die Steigung der Wendetangente erhalten wir dann aus (3):

Zusammenfassung

Gegeben seien
die Kostenkehre
die Stückkosten in der Kostenkehre
die Grenzkosten in der Kostenkehre.

Dann gilt für die Koeffizienten einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion

Beispiele

Beispiel 1: Wir wollen eine Produktion modellieren, in welcher Mengeneinheiten (ME) zu variablen Stückkosten von Geldeinheiten (GE) hergestellt werden. Eine ME mehr kostet 0.76 GE. Wenn wir diesen Punkt in die Kostenkehre legen, betragen dort die Grenzkosten daher ungefähr .

und somit

Beispiel 2: Eine grössere Zunahme als 0.01 GE bei Mehrproduktion von einer Mengeneinheit wäre wohl unrealistisch. Aber bei teuren Gütern, wie z.B. Computertomographen, könnte man sich das schon vorstellen.
Nehmen wir also an, in der Kostenkehre werden bloss 10 ME produziert, . Die Produktion einer Mengeneinheit koste dort GE. Die Grenzkosten in der Kostenkehre betrage

Dann lauten die Koeffizeinten:

und somit