Multiplicación de matrices

in castellano •  4 months ago
Siguiendo con las operaciones con matrices hoy les explicaré su multiplicación. Iniciaré con un ejemplo en el contexto real de su aplicación.

multiplicaciondematrices0.jpg

Comencemos

Supongamos que una empresa fabrica dos productos I y II usando diferentes cantidades de tres insumos X, Y y Z (materias primas o mano de obra, entre otra cosas).

Las unidades de materias primas usadas en la fabricación de los productos I y II viene determinada por la siguiente matriz:

multiplicaciondematrices1.jpg

Si la empresa fabrica estos productos en dos plantas R y S, y los costos de materias primas por cada unidad en las dos localidades se encuentran representadas en la siguiente matriz:

multiplicaciondematrices2.jpg

Cómo determinar el costo de producción de ambos productos en las dos plantas?
Para responder a esta pregunta, hagamos el siguiente análisis:

Comencemos por el producto I:

Para conocer el costo de producir este producto en la planta R, debemos multiplicar la cantidad de insumos X, Y, Z que se necesita para su producción por cada uno de los costos que estos generan en dicha planta, y realizar la sumatoria de esos costos parciales:

Esto es:
3.10 +2.8 + 4.6= 30 + 16 + 24=70
De manera análoga hagamos este el procedimiento en la planta S:

En este caso es:
3.12 + 2.7 + 4.5= 36 + 14+ +20= 70
Estos resultados significan que producir el producto en la planta R tiene un costo de 70, y en la planta S también es 70.

Producto II:

Para determinar el costo de producción del producto II en ambas plantas se procede de manera análoga que el producto I.

Esto es:
En la planta R, el costo es: 2.10 + 5.8 + 1.6= 20 + 40 + 6= 66; y en la planta S: 2.12+ 5.7 +1.5=24 + 35 + 5= 64.

Por lo tanto, el producto II tiene un costo de producción de 66 en la planta R y de 64 en la planta S.

Si seguimos la lógica de los procedimientos y quisiéramos ordenar todos estos resultados en una matriz, hariamos lo siguiente:

. = = .

Donde la primera fila de esta matriz representa los costos de producir el producto I, y la segunda fila nos representa los costos de producir el producto II. Las columnas representan los costos discriminados por planta.

Gráficamente es esto:



Observe que la matriz que grafica nuestros resultados en una matriz cuadrada de orden 2.

En esta aplicación práctica hemos utilizado la multiplicación de matrices, además vemos cómo nos sirve para ordenar datos.

Vamos a formalizar la definición.

Multiplicación de matrices

Veamos dos casos:

  • Sea A= [aij] y B= [bij] elementos de , y A representado por un n-vector fila y B por un n-vector columna. Entonces su producto interno A.B se puede encontrar combinando las matrices de la siguiente manera:

  • A.B= . = a1b1 + a2b2 + a3b + ... +anbn
    Nota: Habrán observado que el número de componentes de los n-vectores factores es el mismo, en este caso n, de lo contrario no se podría realizar la multiplicación.
  • Dadas dos matrices Amxn=[aij] y Bnxp= [bij] el producto de AxB se define como otra matriz Cmxp=[cij] donde cada cij se obtiene realizando el producto interno de la i-ésima fila de A por la j-ésima columna de B.

  • Observaciones:

  • La multiplicación de matrices no es conmutativa.
  • Por ejemplo:
    Dadas las matrices: y .
    Aquí tiene sentido hablar de multiplicación de A por B debido a que el número de columnas de A es igual al número de filas de B (este es un requisito indispensable para realizar la multiplicación). La matriz resultante, va a ser una matriz de orden 2x4.

    Apliquemos el producto interno de cada fila de A por cada columna de B así:
    Fijamos la primera fila de A y la multiplicamos (producto interno fila por columna) por la primera columna de B, los cual nos va a reportar el término que se encuentra en la intersección de la primera fila con la primera columna de la matriz producto A.B. Seguidamente la multiplicamos por la segunda columna de B, lo cual nos reporta la segunda componente en la intersección de la primera fila con la segunda columna de la matriz resultante; y así sucesivamente. Luego el proceso se repite con la segunda fila de A.

    Veamos el resultado definitivo:

    De donde se deduce que:

    La imposibilidad de resolver B.A se deja al lector.
  • La multiplicación de matrices cumple con la propiedad asociativa.

  • Sean las matrices , y

    Debemos probar que (AB)C=A(BC)

    Comencemos




    Desarrollemos ahora A(BC)

    Primero:
    Luego:

    Se deja al lector la imposibilidad de realizar (AC)B y ¿por qué?

  • ¿Tiene sentido hablar de An?
  • Claro que tiene sentido, se refiere a la multiplicación de una matriz por sí misma n-veces.

    separador.jpg

    Referencias:
    Jagdish C. Arya/Robin W, Larnerd (1992). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.
    Seymour Lipschutz (1970). Álgebra lineal. Serie Schaum. McGraw-Hill.
    Stanley I. Grossman( 1983) . Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamérica.

    La imagen de entrada fue creada con la ayuda de powerPoint.
    El resto de las imágenes fueron creadas con el editor en línea de ecuaciones lateX.


    Separador ana lealsuarez.jpg

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    Excelente post y excelente intención la tuya, @analealsuarez. Una de las cosas que me desmotiva a escribir matemática en steemit es que su editor no tiene las facilidades de usar LaTeX que debe tener el markdown. Pero me parece magnífico tu empeño pedagógico.

    ·

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