Ecuaciones lineales en R^3

Las ecuaciones lineales en R³ tienen la forma ax + by + cz= k; donde a, b, c, y k son números reales tales que los coeficientes a, b y c son las variables o incógnitas; y k es una constante.

La solución de una ecuación lineal en R³ es un punto de coordenadas (x, y, z) en el espacio tridimensional.
Para obtener la solución de una ecuación lineal en R³ se presentan tres casos:

Caso 1: Uno de los coeficientes a, b, o c son diferentes de 0 .
Supongamos que a ≠ 0
En este caso, despejando x podemos escribir la ecuación así:
x = (k – by – cz)/a
De tal forma que si asignamos valores a y y a z, obtendremos un valor respectivo para x.
Ejemplo: Consideremos la siguiente ecuación lineal en R³:
4x + 9y – 3z= 1
Despejemos x:
x = (1 – 9y + 3z)/4
Por ejemplo, si y=3 y z=4; entonces:
x= (1 -9x3 + 3x4)/4= ( 1 – 27 + 12)/4= (-14)/4= -7= -3,5
Por ello, una solución para nuestra ecuación es:
La triada (-3.5, 3, 4).

Caso 2:

Los coeficientes a, b y c son todos nulos, y k ≠0.
Esto es: 0x + 0 y + 0z = k
En este caso, la ecuación no tiene solución.

Caso 3:

Todos los coeficientes son nulos, y la constante k también es nula.
Esto es: 0x + 0y + 0z = 0
En este caso cualquier tirada (x,y,z) es solución para la ecuación.

Un sistema de ecuaciones lineales con tres ecuaciones y tres variables tiene la forma:
a ₁₁x + a₁₂y + a ₁₃z= k₁

a₂₁x+ a₂₂y + a₂₃z= k₂

a₃₁x+ a₃₂y + a₃₃z= k₃

Donde los a_ij y k_i, son números reales e i y j son números naturales tales que 1≤ i ≤3.
y 1≤ j ≤3.

Un sistema de ecuaciones lineales puede ser inconsistente cuando no tiene solución y consistente cuando tiene una solución única o más de una solución.

Consideremos el siguiente sistema:

a ₁₁x + a₁₂y + a ₁₃z= k₁

a₂₁x+ a₂₂y + a₂₃z= k₂

a₃₁x+ a₃₂y + a₃₃z= k₃

Para resolverlo usaremos el siguiente procedimiento:

Para cada i>1, L_i= -a_i1L₁ + a₁₁L_i

Esto es:

L₂= -a₂₁L₁ + a₁₁L₂

L₃= -a₃₁L₁ + a₁₁L₃

Veamos un ejemplo:

Resolver el siguiente sistema:

L₁: 2x+ y -3z =5

L₂: 3x - 2y +2z = 5

L₃: 5x - 3y - z =16

Entonces a L₂ la vamos a sustituir por la resultante de la siguiente operación:
L₂= -3 L₁ + 2L₂

Esto es:

-3( 2x + y -3z =5)

+2(3x - 2y +2z = 5)

---

-6x -3y +9z =-15

6x - 4y +4z =10

---

Resultando L₂ : -7y +13z =-5

Ahora trabajamos con L₃

L₃= -5L₁ +2L₃

Esto es:
-5 (2x + y -3z = 5)
2(5x - 3y - z = 16)

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-10x -5y +15z =-25
10x -6y -2z = 32

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-11y + 13z = 7

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Haciendo las sustituciones en el sistema inicial, nos queda:

L₁: 2x+ y -3z =5
L₂: -7y +13z =-5
L₃: -11y + 13z = 7

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Vemos que si hacemos la operación -3 L₂ + L se anulan las y.

Esto es:
-( -7y +13z =-5)
-11y + 13z = 7

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7y -13z =5
-11y + 13z = 7

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Resultando -4y = 12, despejando z, resulta que y=-3

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Para hallar el valor de z, sustituimos el valor de y en la ecuación L₂: y +10z =-28, esto es:

z =(7 + 11y)/13
Sustituyendo y por su valor y haciendo las operaciones correspondientes, se tiene que z=[(7+ 11(-3)]/13=[7-33]/13=26/13=2
Luego z=2

El valor de x se obtiene sustituyendo los valores de y y z en la ecuación L₁:
2x -3 -3 (2)=5

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2x -3 -6 =5

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2x -9 =5
2x=5+9
x= 14/2=7

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Luego las coordenadas del punto (x,y,z) que satisface las tres ecuaciones del sistema es (7, -3, 2), el cual corresponde a su solución.

_{Gráfico elaborado por la autora con la ayuda de GeoGebra.}

Créditos:
La imagen es recreada por la autora con apoyo de
Autor: George Hodan