[Optics] 렌즈에 관여하는 광학적 파라미터들을 알아보자 #1 - Magnification (확대, 배율, MAG) / EFL/ BFL
종이접기로 현미경을 만들어보자는 글에서 가장 중요한 부분은 결국 이러한 Foldscope가 얼마나 기존 현미경에 준하는 (혹은 교육의 목적으로서) 좋은 성능을 내느냐에 달려 있다고 잠깐 말씀드렸습니다.
구형 모양의 작은 렌즈가 삽입된다고 할지라도, 어떤 크기의 반지름을 가져야하고 얼마만큼의 굴절률을 가져야 하는지, 빛의 파장에 따라 얼마나 성능이 잘 유지되는지 등을 고려하기 위해서는 여러 광학적 파라미터들이 중요할 것입니다. 고등학교 과학시간에 언급되었듯이, 우리가 가장 쉽게 상상할 수 있는 렌즈는 특정한 초점거리 f를 가지는 매우 얇은 두께의 오목 혹은 볼록 렌즈일테지만, 사실 모든 렌즈는 크기와 두께를 가지고, 굴절률도 빛의 파장 (혹은 진동수)에 대한 함수로 주어지므로, 정확한 설계 없이는 여러 수차와 낮은 해상도 혹은 왜곡 등에 취약할 가능성이 높습니다.
사실 이 글을 작성하게 된 계기는, 앞서 종이접기로 현미경을 만들어보자는 글에서 제시된 논문을 좀 더 깊이 보기 위해서는, 여러 광학적 파라미터를 알아야하고, 이러한 사전 지식이 없는 상태에서는 논문을 읽어도 흰 건 종이고 검은 건 글씨요, 색깔있는 건 예쁘다(...) 정도에 그칠 것 같아, 파라미터에 대한 개괄적 설명을 진행하고자 합니다.
우선 볼록렌즈와 오목렌즈를 살펴봅시다. 모두들 잘 아실 돋보기와 근시 교정용 안경에 쓰이는 렌즈들입니다.
볼록렌즈
출처 및 저작권: CC BY-SA 3.0
오목렌즈
출처 및 저작권: CC BY-SA 3.0
아주 이상적인 렌즈의 경우인데, 각 렌즈면이 반지름 R1 혹은 R2에 해당하는 곡률을 가지고 평행한 빛이 왼쪽으로 오른쪽으로 입사하는 경우 실제로 모이거나(볼록렌즈), 가상의 점으로 모이는(오목렌즈) 것을 살펴볼 수 있습니다.
초점거리 f는는 렌즈에 평행하게 입사하는 광선을 바탕으로 정의할 수 있는데, 가장 쉽게 빛이 모이거나 빛이 모이는 것 처럼 보이는 가상의 점을 생각하면 됩니다.
그렇다면 이러한 초점거리를 수학적으로 구해볼 수도 있겠죠.
렌즈제작자의 공식(Lens maker's equation)이 존재합니다.
위 공식을 실제로 유도해볼수도 있겠지만, 어떠한 의미가 있나 살펴보면, 굴절률(n), 각 곡면의 반지름(R1, R2), 그리고 렌즈의 두께 d가 중요한 요소로 작용합니다. 다만 앞서 잠깐 말씀드렸듯 색에 따라 굴절률이 달라지므로, 색수차가 발생할 수 있습니다.
출처 및 저작권: CC BY-SA 3.0
사실 색지움 렌즈(Achromatic lens)를 쓰면 이러한 수차를 보정하는 것이 가능한데, 논문에서는 이러한 단점에도 불구하고 구형 렌즈가 쉽고 저렴한 가격으로 대량 생산이 가능하기 때문에, 추가적인 광학적 구조를 도입하는 대신, 최적화된 조리개 반지름, optimal aperture radius (OAR)과 최적화된 해상도(optimal resolution)에 대해서 수차를 고려합니다.
그렇다면 확대에 대한 배율은 어떻게 주어질 것인지에 대한 물음이 있을 수 있겠죠. 가장 간단한 모델인데, 아마도 고등학교 과학 - 물리를 접하신 분들은 이미 알고 계시겠지만,
출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Magnification
저작권: Public domain
기존 사물의 거리에 대한 실상 (혹은 허상)으로 맺히는 곳의 거리의 비율로 배율을 생각할 수 있으며, 만약 2개 이상의 렌즈가 존재하는 경우에는, 하나의 렌즈가 만들어 내는 상이 그 다음 렌즈의 사물의 위치로 간주하여 배율을 곱할 수 있습니다.
그렇다면 Foldscope의 구형 렌즈의 경우는 어떻게 되는 것일까요?
이 논문을 살펴보면, 아이디어 중 하나는 Foldscope에서 따온 것으로 보이는데, 스마트폰의 카메라 렌즈에 구형 렌즈를 붙여, 현미경으로 사용할 수 있을지를 제시하고 있습니다.
출처: Kutay İçöz, Image Processing and Cell Phone Microscopy to Analyze the Immunomagnetic Beads on Micro-Contact Printed Gratings, Appl. Sci. 2016, 6(10), 279; doi:10.3390/app6100279
저작권: CC-BY 4.0
구형 렌즈의 경우를 비롯하여 모든 렌즈에서는 유효 초점 거리(Effective Focal Length, EFL)와 후초점거리(Back Focal Length, BFL)이 정의되는데, 유효초점거리는 렌즈의 Principal plane으로 부터 이미지까지의 광학적 거리를 뜻하고, 후초점거리의 경우, 이미지와 가장 가까운 렌즈의 끝 사이의 거리를 뜻합니다. 구형렌즈의 경우에는 BFL은 EFL에서 반지름을 뺀 값이 될 것입니다.
그렇다면 이 때의 배율은 어떻게 결정하는 것이 좋을까요?
출처 및 저작권: public domain
빨간색 α보다 렌즈에 의한 파란색 α가 더 큼을 알 수 있습니다. 그만큼 확대된 것입니다.
보통 광학 기기에서는 각배율을 사용하여 배율을 정합니다.
즉, 250 mm / 초점거리 가 되는 것입니다. 정상적인 눈의 경우 250 mm 에서 사물을 놓아야 가장 크게 바라보면서, 눈의 초점을 편안하게 맺을 수 있는데, 이 때 눈이 가지고 있는 화각을 생각하면,
배율은 위와 같이 정해집니다. (s는 물체의 거리, 단위 mm)
이러한 상을 우리가 편안히 보면서 가장 크게 볼 수 있는 거리인 250mm 로 볼록 렌즈를 통해 옮기려면,
위 공식에 의해 배율(MAG)을 구할 수 있게 되고,
위와 같은 식을 얻을 수 있습니다. (높은 배율의 경우 근사도 성립합니다.) 이 때 Foldscope 논문에서는 초점거리에 유효초점거리(EFL)를 대입하여 배율을 구하였던 것입니다. 실제로 이를 통해 구형렌즈의 반지름과 굴절률을 조절함으로써 140배 정도의 배율부터 2180배 정도의 배율까지 구현이 가능함을 이야기합니다.
다만 반지름과 굴절률은 해상도와 시야, 수차에도 영향을 미치기 때문에 높은 배율이 항상 좋은 것은 아닙니다. 다음번에는 이와 관련해서 다른 파라미터들을 알아보도록 하겠습니다.
Cheer Up!
아니 이런 정성스런 포스트가...
광학에 관심 있는 분들이 기초를 공부하기에 아주 큰 도움이 될 것 같네요. 화이팅입니다!^^*
적어놓고 보니 좀 많이 기초라서 사실 도움이 많이 될지는 모르겠습니다. 최소한 논문과 관련된 내용을 읽는데에 필요한 배경지식을 적어두려 합니다. 댓글 감사합니다.
새로운 한 주의 시작이네요
비가 옵니다~~!! 힘내세요!! 퐈이팅
네. 새로운 한주의 시작입니다. 한주의 시작을 스팀잇으로 해보니 기분이 또 남다르네요. 들러주셔서 감사합니다. 모두들 힘내시면 좋겠습니다. :)
재밌네요.. 저만 재밌는건 아니면 좋겠습니다 허허ㅋㅋㅋ 혹시 수식은 입력 어떻게 하셨나요?
위키에서 따오거나 혹은 한글(hwp)에서 직접 치고 이미지 변환하는 형식으로 하였습니다. 사실 스팀잇에서 Tex 같은 입력 형식이 지원되면 참 좋기는 할텐데, 제가 잘 모르는건지 아직 파악하지 못한 상태입니다. 그런데 아마 Tex로 입력이 편하다면 아마 이 블로그는 수식이 난무하는 블로그가 될 가능성이 상당히 높습니다 (...)
저도 광학 공부하는 사람인데, 유익한 개념을 정말 쉽게 설명해주셨군요:) 팔로잉 및 이 포스팅 리스팀 부탁드려도 될까요?
다행히 여기까지는 조금 쉬운 개념이라 수월하게 진행한 것 같습니다. 이 다음부터가 좀 복잡한 개념들이 나오게 되어 (Aberration coefficient, Optical Transfer Function, ...) 잘 설명할 수 있을지 걱정이네요.
3D Stereo Vision 쪽에도 관심이 좀 있어서 팔로잉은 하고 있는 상태입니다. 리스팀은 편하게 하셔도 좋습니다.
와....OTF까지... 멋지네요. 계속 받아보겠습니다
응원합니다:)
감사합니다. 이 블로그는 과학에 대해 친숙하지 않은 독자들보다 어쩌면 친숙하긴 한데 좀 더 호기심을 가지고 바라보는 (어느 정도의 동향을 얻고 싶고 연구 혹은 개발에 써먹고 싶은) 독자들을 대상으로 진행할지도 모르겠습니다.
사실 논문을 읽고 이해하기 위해선 여러 기본 지식이 필요한데, 완벽한 유도 과정을 알려주지는 못하더라도 최소한 여러 파라미터들에 대한 개념을 가지고 있어야, 왜 이러한 방법론과 결과를 도출했는지를 알고 논문의 의미가 더 와닿을테니까요...
정성스런 포스팅입니디~^^ 오랜만에 물리광학시간이 된기분이에요~ 초점거리,곡률R,굴절률n,렌즈두께dㅋㅋ 오랜만에 보는 단어들이네요~ 광학공부에 많은 도움이될것같아요~^^ 감사합니다~
사실 광학 블로그로 운영할 생각은 없었는데, 어찌 하다보니 이것저것 여러 개념들이 등장하게 되었습니다. 렌즈 관련해서는 조금 더 다루어야할 것 같아요. 댓글 감사합니다. 좋은 밤 되시길 바랍니다. :)
아크로매틱이 저가 렌즈, 아포크로매틱이 색수차를 줄이는 고급 렌즈로 알고 있었는데 아크로매틱도 색수차 보정이 가능한가 보네요?! 수포자라서 수식은 패스지만 즐겁게 잘 읽고 있습니다!
아크로매틱도 색수차를 줄이기 위한 렌즈는 맞는데, 사실 제한적입니다. 아포크로매틱이 더 좋은게 맞습니다. 이 글을 참조하시면 아시겠지만, 아크로매틱은 스펙트럼의 양끝을 맞추지만 스펙트럼의 중간에 위치한 빛들에 대한 수차는 잘 보정하지 못합니다. 하지만 아포크로매틱은 좀 더 많은 광선들을 보정 가능할 겁니다. 요약드리자면, 둘 다 색수차 보정을 위한 렌즈이기는 하나 어디까지 보정할 수 있을 것이냐의 문제로 보시면 되겠습니다. :)
몇년째 눈팅만 하고 있는 천체망원경 쪽 사이트에서는 아크로매틱을 개슈레기 취급하길래 저질 렌즈인줄 알았더만 그게 아니군요. 그림을 보니 왜 색수차가 보라돌이로 나오는지도 알겠습니다. 답변 감사합니다!
사실 아포크로매틱에 비하면 저질렌즈 맞습니다. 개념적인 측면에서 수차를 조금이나마 보정하는게 낫기에 예시로 글에서 설명드렸던 것이고요, 천체 관측과 같이 나름 빡세게(?) 노이즈나 수차를 잡아야하는 경우라면, 좋은 렌즈를 쓰는 게 맞을 것 같습니다. :)
아포크로매틱 들어간 망원경은 가격이 넘사벽이라...ㅋㅋㅋ