[특수상대성이론] 우주선에서 쏜 미사일은 빛의 속도보다 빠를 수 있을까? - 수학적접근

안녕하세요. @chosungyun입니다.

어떤 입자도 빛의 속도보다 빠르게 이동할 수 없음을 저번 포스팅에서 질량의 증가를 통해 예상했었습니다.
이번 포스팅에서는 이러한 현상을 수학적으로 확인해보려고 합니다.

확인하기 위해 빛의 속도에 가깝게 움직이는 물체가 또 빛의 속도에 가깝게 운동한다고 했을 때의 로렌츠변환을 몇 번 해보면 결과를 알 수 있습니다.

하지만, 이 과정을 하여 결과 식을 유도하기에는 식이 복잡합니다. 그래서 조금 새로운 표현을 도입하겠습니다.
로렌츠변환의 인자를 쌍곡선 함수를 사용해 표현하면 직관적으로 빛의 속도를 넘을 수 없다는 것을 확인할 수 있습니다.

쌍곡선 함수는 지수함수의 합차로 이루어진 함수로서 다음과 같이 표현됩니다.

그리고 다음과 같은 특징을 가집니다.

이런 특징 중에 tanh의 함수꼴이 베타와 v의 함수꼴과 유사함을 알 수 있습니다.

따라서
라고 정의할 수 있습니다.

이런 관계를 이용해서 각각의 로렌츠 인자를 새롭게 정의할 수 있습니다.

그럼 로렌츠 변환 행렬의 꼴로 작성하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이 로렌츠 변환 행렬을 이용해 한 번의 변환을 시키면 다음과 같습니다.

또 한 번 더 변환을 시키면 다음과 같습니다.

즉, 점점 세타값이 커지게 되는 변환 행렬을 곱하는 것과 같습니다.
결국 세타값에 따라 v값을 알 수 있고 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 V₂를 극한으로 c로 보낸다고 할 때 다음과 같이 되며 빛의 속도 c를 넘을 수 없음을 알 수 있습니다.
결국, 빛의 속도로 이동하는 우주선에서 발사한 빛의 속도로 날아가는 로켓 미사일을 지구에서 보았을 때 빛의 속도의 2배가 아닌 빛의 속도로 날아가는 로켓을 보게 될 것으로 예상할 수 있습니다.
오늘은 여기서 마칩니다. 감사합니다!!

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“해당 포스팅에 사용한 이미지의 출처는 구글이미지입니다”