누군가 나에게 재미난 문제 하나를 던져 주었다.

Suppose you repeatedly flip a coin to create a sequence of heads H and T. You stop once you see the sequence HHT or HTT. What is the probability that the sequence HTT occurs first, to two decimal places?

우리말로 해석을 해보면

동전을 던지는데 앞면[머리]가 나오면 H 뒷면[꼬리] 가 나오면 T 라 할 때 계속 동전을 던지다가 HHT 나 HTT 가 나오면 멈춘다. HTT 가 일어날 확률을 소숫점 두자리까지 구하여라

아아닛! 이것은 조건부 확률 문제가 아닌가

살면서 그래도 그나마 많이 쓰이는게 확률문제가 아닌가 싶다...

하지만 이미 고등학교를 졸업한지가 엄청나게 지났고

수학을 좋아하지만 확률은 싫어한 나는 괴로움에 빠지고 마는데...

일단 고등학교의 추억을 되살려 한번 풀어보시길..

가즈아 계산기! [그러고 보니 계산기 셔틀 인생인가..]

저런 사건을 A 라 해보자. 즉 A 는 HTT 로 끝난 사건을 말한다. 머랄까 수학적 점화식을 세운 것과 비슷하게 HTT 이 전의 사건을 통해 점화식 비슷하게 만들면 문제가 쉬워진다. [사실 조건부 확률의 정의를 가져다가 쓴 것에 불과하다. ]

조건부 확률의 정의를 생각해보자

자 임의의 A 가 일어날 전체 확률은 조건부 확률의 합으로 다음과 같이 표현할 수 있고

우리 문제의 경우 동전의 앞면 뒷면의 확률은 1/2 로 같기 때문에

A = HTT (그리고 그 전에 HHT 가 없는) 로 끝나는 사건이기에 재밌는 성질을 볼수 있는데

자 한번 다음을 생각해보자

앞의 A 에 T 가 들어간 사건들의 경우를 봐보자.

흠 좀 관점을 바꾸어 보자 이번엔

저 A_n 자리에 H 가 들어오면 HHT 가 되어버리기 때문에 ... P(A|HH)=0 그럼 당연히

여기서 조금 눈치가 빠른 사람이라면 먼가 이상함을 느꼈을 것이다.

바로 P(A|H) 의 존재 말이다.

놀랍게도(?) ㅋㅋㅋ 위와 똑같은 원리로 다음과 같은 식이 성립한다.

추가로

자 이제 사건 A 의 확률을 구해보자. 위에서 구한 것들로 계산 가능하다

그리고 이제 P(A|H) 에 대해서 똑같은 작업을 해보자

또 한번더

자 이제 연립을 하면 된다.

길었던 여정이 끝이 났다.

주어진 문제만 풀면 재미가 없어서 변형을 해봤는데 ㅋㅋㅋㅋ

이런 ㅋㅋㅋ

이미 누군가 해놨다.

뭐 문제를 풀면서 충분히 생각해 볼만한 문제니 누군가 풀었겠지 했는데 ㅋㅋㅋㅋ

조건부 확률을 이용한 완전히 똑같은 풀이네 ㅋㅋㅋㅋ

역시 어디 교과서 문제인가 보다.

새로운 것을 만드는 것은 정말 어려운 길이다

참고문헌

위키피디아

Flipping coin