Producto escalar de vectores

analealsuarez (53)in #castellano • 8 years ago

Cuando multiplicamos un escalar por un vector nos resulta un vector donde cada una de sus componentes ha sido multiplicado por el escalar¹. Vemos que es una operación que combina objetos matemáticos de diferentes ámbitos, y que a la final, el resultado pertenece a uno de ellos, en este caso a los n-vectores².

Pero existe otra multiplicación, otra, en la que los factores son vectores y el resultado es un escalar. Dicho producto recibe el nombre de producto escalar de dos vectores o producto punto, y es el que hoy vamos a estudiar.

Comencemos

Sean a y b dos n-vectores:

Veamos el sigiente ejemplo:

Supongamos que un productor fábrica cuatro productos: A, B, C, D, y E; y que la demanda para los artículos está dada por el vector demanda d=(40,25,35,15). Los precios unitarios para cada artículo están dados por el vector de precios p=( $25, $ 30, $20, $ 40). Si se satisface la demanda para el productor, entonces ¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?

Los vectores en el problema están como vectores filas, los podemos llevar a vectores columnas y aplicar la definición, o los podemos trabajar como vectores filas; aplicamos la definición así:

Este resultado nos dice que el fabricante recibe $3050, si se satisface la demanda.

Propiedades del producto escalar

Sean a, b y c

Factor cero: a.0=0
Conmutativa: a.b=b.a
Distributiva: a(b+c)=a.b +a.c
a)ba.b)

_{Es obvia la verificación de que no existe para esta operación, la propiedad asociativa. La misma se deja al lector.}

Veamos el ejemplo siguiente:

Vemos que el resultado es 0, en este caso se dice que los vectores a y b son ortogonales.

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.

Desarrollemos el siguiente ejemplo:
ab
Apliquemos el producto punto e igualamos a 0:

Entonces los vectores a y b

Notas:
[1] Cuando hablamos de un escalar, nos referimos a un número real. Este término se originó con Hamilton cuando comenzó a definir los cuaterniones.