Monty Hall Bulmacası

Birçok insanın bildiği fakat özellikle Türkiye'de çok bilinmediğini düşündüğüm bir problemden bahsedeceğim. Monty Hall problemi. Sizden ricam; bu problemle daha önce karşılaşmadıysanız yazıyı çok hızlı okumayıp, problem ile karşılaştığınız yerde durup biraz düşünmenizdir.

Doğrudan bilgi veren içerik hazırlamaktan pek hoşlanmadığımdan karşılaşmamla ilgili kısa hikayeye başlayayım.

Lise zamanı çok fazla film izlerdim. "21" isimli filmi de o dönem izlemiştim. Filmin başlarında profesör sınıfa şu soruyu soruyordu;

Bir televizyon programındasınız ve karşınızda üç kapı var. Birinin ardında ödül var. Kapınızı seçtikten sonra sunucu gelip seçmediğiniz iki kapıdan birini açıyor. Size de "isterseniz cevabınızı değiştirebilirsiniz" diyor. Ne yapardınız?

Profesörün bu sorusunun ardında öğrencilerden biri kalkıyor, "cevabımı değiştirir ve fazladan %33 olasılık için teşekkür ederdim" diyor. Hocası da aldığı cevaptan epey memnun kalıyor.

_{Probleme ilham veren yarşma}

Filmi orada durdurdum. Yalan olmasın ama yarım saat falan düşünmüşümdür. Sonra bir aydınlanma yaşadım. Her şey birden aşırı mantıklı oldu.

Aradan yıllar geçti ve birkaç ay önce bu soruyu hatırladım. Yanımda matematikçi iki arkadaş vardı. Onlara sordum ve bana sonsuz gibi gelen kavgamız başladı:)

Ben kapıyı değiştirmenin mantıklı olduğunu anlatmaya çalıştıkça onlar "aptal malzemeci biz bunun dersini görüyoruz herkes işine baksın" cümlesini kibarlaştırıp bana sunuyorlardı. Onlara göre sunucu bir kapıyı açıyorsa geriye iki kapı kalmıştır ve olasılık %50'dir. Fakat işin aslı öyle değil.

Bir kapıyı seçtiğinizde kapının doğru olma olasılığı %33, dolayısıyla yanlış olma olasılığı %66'dır. Yani kalan iki kapıdan birinin doğru olma olasılığı daha yüksek. Sunucu ise hangi kapının doğru olduğunu biliyor. İşte bu noktayı denkleme koymayan insanlar olayı kaçırıyor. Yani eğer kalan iki kapıdan biri doğruysa sunucu mecburen yanlış olan kapıyı açacak ve size diğer kapı kalacak. Yani tercihinizi değiştirirseniz aslında %66lık kısmı seçmiş olacaksınız.

Şu ana kadar ikna olmadıysanız üzülmeyin. Çünkü matematikçi arkadaşlar da bu anlatımdan sonra saçmaladığımı iddia etmeyi sürdürdüler. Ben de tüm durumları ortaya koymaya çalıştım.

Diyelim ki seçimimizi birinci kapı olarak yaptık. Üç kapının da doğru olduğu durumlara tek tek bakalım.

• Birinci kapı doğru ve spiker, diğer iki kapıdan birini açar. Cevabımızı değiştiririz ve yanlış sonuca ulaşırız.
• İkinci kapı doğru ise biz 1. kapı seçtiğimiz için ve 2. kapıda da ödül olduğu için mecburen 3. kapıyı açacaktır ve biz cevabımızı değiştirip 2. kapıyı seçmiş oluruz.
• Üçüncü kapı doğru ise biz yine 1. kapıyı seçeriz ve spikere açabilmesi için sadece 2. kapı kalır. Cevabımızı değiştiririz ve yine mutlu son.

Olası durumların üçte ikisinde kapı değiştirmek bizi doğru sonuca götürür. Yanlış yapabilmemiz için tek seçenek ilk seçtiğimiz kapının doğru olmasıdır. İlk seçtiğimiz kapının da doğru olma ihtimali %33'tür. Arkadaşlarım bu açıklamadan sonra da emin olamadı ve kağıt kalem alıp üç kapıdan birini seçme olayını onlarca kez tekrarladık. Onlar spikerdi ve ben yarışmacıydım. En son doğru bilme istatistiklerim sayesinde beni reddetmeyi bırakıp anlamaya çalıştılar ve yine mutlu son :)

Eve gittikten sonra araştırdım. Problemin adı Monty Hall problemiymiş ve dünyanın en zeki insanı sıfatı taşıyan (228 iQ) Marilyn Vos Savant tarafından çözümü yukarıda bahsettiğim gibi yapılmış. Çözümünü, Marilyn'e sor isimli köşe yazısında, gelen bir soru üzerine paylaşmış. 90'lı yıllarda yayınladığı çözüm matematik dünyasında epey tepki çekmiş. Aldığı yüzlerce mektup kadını taciz eder nitelikteymiş. Kendisine matematiğin yüz karası olduğu söylenilmiş.

_{Marilyn Vos Savant}

Köşe yazısı için kendisine gelen soru o dönemin popüler yarışması Let's Make a Deal'a dayandırılan bir soruymuş ve Monty Hall bulmacası ismini program sunucusundan almış. Marilyn ise aldığı tepkilerden sonra insanların anlayabilmesi için soruyu şu şekilde değiştirmiş;

Eğer yarışmada 1000 tane kapı olsaydı ve siz birini seçtikten sonra sunucu kalan kapılardan 998 tanesini açıp size bir seçenek daha bıraksaydı yine de kapınızda ısrar eder miydiniz?

Bu açıklamanın ardından tepkiler azalsa da nihai sonucu o dönem başlatılan bilgisayar simülasyonları vermiş ve zamanla insanlar ikna olmuş.

Farklı düşünmeyi başarıp dışlanan herkese selamlar.