Geometría analítica y Cinemática (Parte XIII)

En primer lugar mi saludo respetuoso para toda la comunidad académica y científica de steemit, en especial a #stem-espanol, #steemstem, #utopian-io, #curie, #cervantes y #entropia, con su valioso apoyo hacemos posible nuestro crecimiento en todos los aspectos relacionados a esta prestigiosa plataforma y además nos permiten resaltar la extraordinaria e inquebrantable labor de la ciencia ya que nos olvidamos de su incalculable valor para la existencia de la humanidad.

Seguimos con la temática geometría aquella que unida al lenguaje abstracto del álgebra robustecen el extraordinario carácter analítico de las matemáticas, esencial característica implementada para el estudio del fundamental nexo entre la majestuosa ciencia física y las indispensables matemáticas. El espléndido campo de la ciencia nos sigue brindando todas aquellas herramientas útiles y necesarias para el entendimiento de todo aquello que nos rodea y de esta manera formando parte de nuestra existencia, esto lo hemos probado gracias al análisis del extraordinario fenómeno del movimiento implementando dos ejemplares herramientas científicas como lo son la cinemática y la geometría analítica.

Es necesario seguir expresando el propósito principal de cada uno de estos análisis ya que a través de ellos hemos podido identificar de manera general diferentes fenómenos de movilidad los cuales marcan una profunda huella en nuestras vidas, de esta forma podemos mencionar aquellos movimientos analizados hasta ahora entre los cuales tenemos; el movimiento circular, parabólico, elíptico, hiperbólico, rectilíneo-curvilíneo, oscilatorio, vibratorio, ondulatorio, caótico, armónico complejo, armónico forzado amortiguado, movimiento cicloidal, así como extraordinarios fenómenos de movilidad intrínseca como el movimiento periódico que a su vez representa un esencial aspecto del reconocido movimiento armónico simple (M.A.S.) constituyendo este último el más destacado e importante modelos entre los fenómenos oscilatorios, además teniendo siempre presenta que cualquier partícula, cuerpo u objeto llevará a cabo tales movimientos al recorrer o transitar el lugar geométrico de alguna forma o figura diseñada por nuestra geometría analítica y su excelso lenguaje abstracto.

En esta oportunidad seguiremos analizando la fabulosa curva cicloide pero en esta ocasión no será generada sobre una superficie recta sino sobre otra superficie igual a la que genera dicha curva, es decir, una circunferencia, por lo que se antepone al nombre el prefijo Epi el cual tiene origen griego y por lo general lo podemos implementar para referirnos cuando algo se encuentra sobre otra cosa como es el caso del fenómeno epicicloidal.

Por lo tanto podemos decir que esta curva se diferencia de la cicloide con respecto a la figura (línea recta) sobre la cual giraba o daba vueltas sin resbalar una determinada circunferencia cuyo punto fijo cualesquiera de esta forma geométrica generaba la ya conocida cicloide, de dicha curva conocimos impresionantes propiedades como la braquistócrona (tiempo más breve) y la tautócrona (mismo tiempo) representando para muchos este lugar geométrico como la primera curva moderna debido a que no se encuentra figurando en las distintas obras relacionadas con la geometría estructurada en la antigua Grecia.

Ahora bien para el caso de la curva epicicloide podemos decir que la misma representa el lugar geométrico de las distintas posiciones de cualesquier punto perteneciente a una determinada circunferencia la cual da vuelta, gira o rueda de forma exterior, y sin resbalar, sobre la circunferencia de otro circulo, en donde dependiendo de la proporción entre los radios involucrados, es decir, de la circunferencia tanto móvil (generadora) como fija (directriz) podemos obtener diferentes curvas pero todas vinculadas a la misma familia llamadas epicicloides.

Entonces seguimos haciendo girar a la circunferencia de un determinado círculo pero en esta ocasión no sobre una línea recta sino sobre el exterior de otra circunferencia, teniendo en cuenta en el caso de la cicloide que tanto dicha curva como la línea recta sobre la cual se generaba son infinitas por lo que no nos permitía poder determinar su longitud total (de la cicloide), en el caso de una curva epicicloide podemos decir que la misma es acotada o delimitada al igual como lo es la circunferencia por la cual rueda o gira la otra circunferencia generadora, por tanto esta curva junto a la longitud de uno de sus arcos podríamos determinar su longitud total siendo esta última mayor que la longitud de un arco n veces, es decir, como expresamos anteriormente según sea la proporción entre los radios de las circunferencias involucradas esto determinará la cantidad de arcos o puntas de la epicicloide y en consecuencia la longitud total de tal curva.

Es importante resaltar la implementación del fenómeno del movimiento para poder hacer rodar una determinada circunferencia sobre otra dando origen al lugar geométrico de la curva ya mencionada, la epicicloidal, pero también debemos hacer referencia a la utilidad del movimiento originado entre las dos figuras geométricas (circunferencias) ya que a través de esta movilidad hemos podido diseñar distintos mecanismos para la transmisión de movimientos tal y es el caso del tren epicicloidal muy útil en los sistema mecánicos de cualquier tipo de automóvil.

Por lo tanto esta curva es elemental para el diseño de dientes para engranajes, y el movimiento que se origina durante su creación (epicicloidal) representa la de una rueda dentada sobre otra con la finalidad de poder transmitir un movimiento giratorio o alternativo de cualquier maquina o sistema a otro, en donde dicho movimiento permite dar revolución a otros elementos que componen un complejo sistema mecánico.

Los engranajes epicicloidales también denominados planetarios son sistemas de engranajes o tren de engranajes constituidos por uno o más engranajes de forma externas como cualquier satélite cuando gira sobre un planeta central, estos sistemas de engranajes pueden anexar a un engranaje de tipo anular en forma de corona ya que el mismo debe engranar con las ruedas dentadas (satélites) las cuales giran sobre la rueda central o planeta como ya se mencionó y cómo podemos observar de manera general en el gif al inicio de este artículo.

Seguimos adquiriendo de la geométrica analítica todos y cada uno de los lugares geométricos por donde transitan todas aquellas partículas, cuerpos u objetos al desarrollar algún movimiento tal y como hemos observado en las pasadas publicaciones, encontrándonos con importantes trayectorias relacionadas a figuras geométricas tales como la línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse, la hipérbola, combinación de estas figuras así como alguna porción de ellas, otras figuras complejas como la mariposa o atractor de Lorentz, curvas periódicas o armónicas y la cicloide, todas y cada una de estas figuras representan a un tipo de movimiento en particular o complejo.

Recordando la curva cicloide en donde la misma se generaba a través de un punto fijo establecido de una circunferencia la cual giraba o rodaba, sin deslizarse, a velocidad constante sobre una línea recta y que al invertirla encontrábamos una extraordinaria curva con propiedades destacables como la braquistócrona y tautócrona, ahora hacemos rodar una circunferencia (directriz) sobre otra (generatriz) con la finalidad de obtener la curva denominada epicicloide como observamos en la siguiente figura 1.

En la anterior figura podemos observar el inicio de la formación de un tipo de epicicloide pero es importante tener en cuenta la relación en cuanto a la proporción entre los radios de las circunferencias involucradas, es decir, la móvil (generatriz) y la fija (directriz) ya que esta razón o proporción determinará la forma de la epicicloide, en donde si el radio de la circunferencia directriz es tres, cuatro, cinco veces mayor, entonces, de esta manera se obtendrá figuras epicicloidales semejantes a una flor tanto de tres, cuatro o cinco pétalos y así proporcionalmente.

A continuación empezaremos a conocer algunas epicicloides de acuerdo a la relación entre los dos radios de las circunferencias implicadas, para este caso tenemos a la cardiode cuya denominación proviene del griego Kardia que significa corazón y Eidos que es forma, por lo tanto la podemos reconocer por la forma de corazón, en donde el radio de la circunferencia generatriz es igual al radio de la circunferencia directriz o fija como podemos notar en la siguiente figura 2.

Continuamos con otro tipo de curva epicicloidal la nefroide cuyo nombre va vinculado a la semejanza de la misma con los riñones y la cual tiene dos puntas o dos arcos debido a que el radio de la circunferencia generatriz es dos veces menor que el radio de la circunferencia directriz o fija como podemos observar en la siguiente figura 3.

Podemos señalar que de manera general podríamos encontrarnos con proporciones entre tales radios con mayor grado de complicación, en donde la razón entre dichos radios de circunferencia generadora y fija resulte ser un número no entero por lo tanto una fracción irreductible, uno de los casos más interesantes entre dichos radios es cuando nos encontramos que la razón o proporción entre los mismos resulta ser un número irracional, por lo tanto los radios tanto de la circunferencia fija o móvil son inconmensurables o ilimitados por lo que su razón o proporción no podemos expresarlos a través de un número racional, esto hace que la epicicloide originada por tales circunferencias nunca se cierre, es decir, no habrá final para sus puntas, arcos o bucles como podemos notar en la siguiente figura 4.

# ***Movimiento Epicicloidal***

Al generarse este tipo de curva es necesario la aplicación de un movimiento el cual lo lleva a cabo una determinada circunferencia (generatriz) en donde un punto de la misma gira sobre otra circunferencia que la denominamos directriz, por lo que es importante destacar el carácter cíclico de esta figura ya que las mismas representan lugares geométricos cuyas posiciones de un determinado punto de la circunferencia de un círculo transita a través de otra circunferencia sin deslizarse, por lo que a estas figuras también se le conoce con el nombre de curvas mecánicas debido a su gran importancia en el diseño de piezas de engranajes implementadas en importantes sistemas de transmisión de movimientos tal como es el caso del sistema mecánico denominado tren epicicloidal.

Por tanto todos aquellos elementos o componentes que conforman una determinada maquinaria las denominamos mecanismos y con ellos podemos transmitir distintos tipos de movimientos tal y como es el caso de la semejanza de las dos circunferencias relacionadas al momento de generar la epicicloide, y las cuales podrían representar ruedas dentadas y como sabemos las ruedas se encuentran presentes en diversas maquinarias o mecanismos que mejoran la movilidad de objetos aplicando menor cantidad de esfuerzo.

En cuanto a los sistemas de engranajes denominados epicicloidales o planetarios representan importantes sistemas de trenes de engranajes utilizados en el interior de las transmisiones de los vehículos y los mismos son tipos de engranajes externos también denominados satélites, y estos giran o rotan a través de un engranaje central o planeta al relacionarlos con los satélites antes mencionados, en este tipo de sistema también podemos encontrar un engranaje llamado anular o corona el cual tiene como tarea engranar a los engranajes denominados satélites como pudimos observar en el gif al inicio de esta publicación.

Por lo tanto podemos expresar que los sistemas de engranajes epicicloidales se constituyeron como uno de los sistemas más reconocidos en el mundo de la mecánica automotriz por ser mecanismos generalmente implementados en la variación de velocidad de los automóviles, y por tanto la movilidad aportada por tales sistemas son de gran importancia en comportamiento general de los mismos (automóviles).

A través de los modelos matemáticos la ciencia nos ha permitido la interpretación de cualquier tipo de fenómeno que se desarrolla en nuestro universo, por lo tanto los mismos representan el extraordinario lenguaje abstracto utilizado tanto para el entendimiento como para la expansión de cualquier conocimiento sobre una determinada actividad natural o en consecuencia artificial relacionada tanto con la humanidad como con el propio universo, esto lo hemos observado mediante los análisis realizados por parte de la ciencia física y la geometría analítica en relación al fenómeno del movimiento en general.

En esta oportunidad conoceremos algunos modelos algebraicos implementados para la comprensión del lugar geométrico de esta extraordinaria curva, la epicicloidal, representando dicha curva una importante herramienta para complementar la acción del imprescindible fenómeno del movimiento como ya se ha descrito con anterioridad.

Ya hemos expresado que la epicicloide representa el lugar geométrico que describe un punto de una circunferencia (generatriz) que rueda o gira sobre otra circunferencia fija (directriz), en donde el ángulo central que define el desarrollo de la circunferencia generatriz podemos obtenerlo a partir de la siguiente formulación:

En las ecuaciones 2 y 3 se indica el número de veces que el radio de la circunferencia fija o directriz es mayor que el radio de la circunferencia móvil o generatriz a través de la literal (n), por lo tanto al tener un valor de n=2 obtendríamos una epicicloide con dos arcos o puntas como la obtenida en la figura 3. Seguimos conociendo formulaciones relacionadas con la curva epicicloide para ello tomamos igualmente como referencia a la figura 1 para la determinación de algunas ecuaciones relacionadas a las coordenadas de los centros de circunferencias y del punto generador de la epicicloide, por tanto tenemos:

De acuerdo a la misma figura 1, las formulaciones para las coordenadas del punto (P) generador de la epicicloide son:

Es importante poder detectar e identificar los distintos fenómenos de movimientos que se generan en nuestro medio ambiente o entorno, todo esto con la finalidad de seguir resaltando la esencial utilidad de cualquier fenómeno de movilidad en nuestra vidas, es decir, en la humanidad y todo el espacio que la circunda ya que como hemos expresado gracias a la comprensión de este fenómeno tanto nosotros como el mismo universo ha logrado desarrollarse lo mejor posible.

Siempre resaltando el extraordinario nexo entre la cinemática y la geometría analítica debido a que tales movimientos transitan cualquier forma o figura diseñada y formulada por nuestra ciencia geométrica como se ha demostrado en los pasados artículos y también en el presente movimiento relacionado con la curva epicicloidal, la cual como ya se ha manifestado es un tipo de cicloide pero ahora generada por un punto de una circunferencia que rueda o gira sobre otra circunferencia fija o directriz con este movimiento se concreta el nombre de dicha curva como epicicloide, ya que se genera por el movimiento de una determinada circunferencia sobre otra y eso es lo que se refiere el prefijo Epi.

Es importante tener en cuenta la relación que pueda existir entre los radios de las circunferencias involucradas, es decir, la directriz y la generatriz ya que según sea esta razón o proporción encontraremos una gran variedad de este tipo de curvas como pudimos notar con algunos ejemplos mostrados en cada una de las anteriores figuras tales como las epicicloides cardioide, en donde los dos radios son iguales, la nefroide donde el radio de la circunferencia generatriz es la mitad del radio de la circunferencia directriz o fija.

De igual forma como sucede con gran cantidad de curvas generadas por cualquier tipo de movimientos de un determinado punto de una figura geométrica también podemos encontrarnos con diseños muchos más complejas como la que obtuvimos al tener una proporción relacionada a un número irracional, generando de esta forma una excepcional curva epicicloidal sin final para sus puntas o bucles como la observada en la figura 4.

Este tipo de curvas también las podemos denominar curvas mecánicas debido a su relación con el diseño de piezas para sistemas de engranajes, importantes en la transmisión de movimientos circulares o alternos a través de ruedas dentadas al girar una sobre otra como pudimos expresar en la creación de la curva epicicloidal, pero encontramos de esta forma un sistema de engranaje denominado epicicloidal o planetario, este tren de engranajes es utilizado en el interior de las transmisiones de los vehículos siendo los mismos tipos de engranajes externos llamados también satélites ya que giran a través de un engranaje central o planeta como podemos observar en el gif al inicio de este artículo.

Para concluir mis amigos lectores cualquier fenómenos de movilidad sin importar su grado de complejidad, es decir, sea particular o compuestos siempre representarán para nosotros un imprescindible conocimiento para poder lograr la mayor estabilidad social posible, y que gracias a la ciencia como la cinemática y la geometría analítica podemos seguir reafirmando que nosotros estamos cada vez más cerca de nuestra madre naturaleza.

Hasta otra oportunidad mis apreciados lectores de steemit, en especial a los miembros de la gran comunidad de #STEM-Espanol, los cuales reciben el apoyo de otras tres grandes comunidades como los son #steemstem, #utopian-io y #curie, por lo cual recomiendo ampliamente formar parte de este hermoso proyecto, ya que resalta la valiosa labor de la academia y del campo científico, pero sobre todo, por el gran respecto, dedicación y ayuda para sus miembros.

Nota: Todas las imágenes fueron elaboradas usando las aplicaciones Paint, Power Point, las curvas epicicloidales con GeoGebra y el gif animado al principio de la publicación fue elaborado con la aplicación de PhotoScape.

[1] Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. Décima tercera reimpresión. Editorial Limusa. México, D.F. 1989.

[2] Jennings, G.A. Geometría moderna con aplicaciones. Springer, New York, 1994.

[3] Snapper, E., Troyer, R.J. Geometría afín métrica. Dover, New York, 1971.

[4] Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr. Ed. Thomson. Física. Edición 1 y 3. [5] Giancoli, D.C. Física, principios y aplicaciones, Reverté S.A. España, 1985.

[6] Casasco Juan Patricio, Valoni Andres, Romani Julieta. Cicloide. Universidad Favaloro. Julio 2001.

[7] Arriagada Sandoval Camila. Modelos Matemáticos. Universidad del BÍO-BÍO. Chillan, 2015.

[8] Corcho Gutiérrez Fernando Manuel. La cicloide. Universidad de Sevilla, Facultad de Matemáticas, año 2017.

[9] Lafuente J. Geometría diferencial de curvas en el plano. Enero de 1998.