MATEMÁTICAS – Parte I. Representación de Funciones lineales.

Que tal compañeros de #stem-espanol y #steemstem. Bienvenidos a mi nueva sección de posts relacionados con matemáticas.

Desde el bachillerato se nos enseña a cómo resolver un problema matemático. En la universidad de igual manera pero con un grado de dificultad mayor. Esto, con el propósito de estar preparados para afrontar datos experimentales obtenidos en el campo laboral. Es decir, no importa si estudiamos Física, Biología, Química, Computación, Ingeniería y/o algunas otras ciencias, si tomamos datos de campo necesitaremos de la representación Matemática para resolver nuestros problemas. Es por esta razón que nació esta nueva sección “MATEMATICAS” en @djredimi2.

En esta Parte I, de la sección Matemáticas, estaremos aprendiendo a cerca de las funciones más elementales, las funciones lineales. En consecuencia, estudiaremos su expresión matemática, su representación gráfica y las características de la curva recta. Antes de empezar hablaremos acerca de las funciones.

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1. DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN.

Consideremos la figura 1, donde A es un conjunto inicial (de partida) y B es el conjunto final (de llegada). Entonces, es un elemento cualquiera del conjunto A, mientras que es su imagen en el conjunto B. Una función cumple las siguientes condiciones:

• Todos los elementos del conjunto A tienen imágenes en el conjunto B.
• Cada elemento del conjunto A tiene una sola imagen en el conjunto B.

Figura 1. Notaciones que representan a una función lineal. Elaboración propia con Microsoft Power Point.

La notación es una función de ”; y representa a las operaciones que han de efectuarse sobre un elemento cualquiera del conjunto A, para obtener su imagen y en el conjunto B.

Si en una función su dominio es A y su rango es un subconjunto de R (números reales), entonces la función se denomina Función Real. Al conjunto de los elementos de A que intervienen en la función, se le conoce como dominio de A, mientras que al conjunto de los elementos de R que están en correspondencia con los del conjunto A, se les conoce como rango o imagen de la función.

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2. FUNCIÓN LINEAL.

Una función lineal es aquella cuya representación gráfica es una línea recta. A la función lineal también se le conoce como función afín. Esta tiene la forma:

Donde R. Así mismo tiene como exponente la unidad, por lo que se le conoce como una función de primer de grado. La representación gráfica de la función lineal en el plano real es una línea recta inclinada a un ángulo (figura 2).

Figura 2. Representación gráfica de una función lineal. Elaboración propia con Software Origin 6.1 y Microsoft Power Point.

A fin de representar gráficamente esta función, le damos a algunos valores. En la figura 2 se muestra el gráfico de la función para dos puntos dados, . Si se unen dichos puntos, encontramos la línea recta correspondiente a la función lineal.

Como puede verse de la figura, a la variable x puede asignársele cualquier valor en el conjunto de los números reales. Es decir, su dominio es R:

Su rango es también,

Ejemplo: Grafica, dominio y rango de la función .

Figura 3. Gráfica de y=2x+1. Elaboración propia con Software Origin 6.1.

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3. PENDENTE DE UNA FUNCIÓN LINEAL.

La pendiente de una función lineal determina el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje . Para estudiar esto consideraremos que en la ecuación (1), por lo que la función será:

Donde puede tomar cualquier valor real. Tomando los valores y graficando las tres funciones resultantes tendremos la figura 4.

Figura 4. Variación de la inclinación de la recta y=mx-1 para valores de m=1, 2 y 3. Elaboración propia con Software Origin 6.1.

El ángulo de inclinación se mide en sentido antihorario a partir del eje de las abscisas. Por otro lado, el punto donde cortan las rectas de la figura 4, corresponde al término independiente de la ecuación (1). Este término corresponde al punto donde la recta corta al eje .

Ahora consideraremos los casos que caracterizan la pendiente en una función lineal:

• Si la pendiente m es positiva. En este caso, el ángulo formado por la recta y el eje es un ángulo agudo. Esto quiere decir que el ángulo es menor de 90°.
• Si la pendiente m es negativa. En este caso, el ángulo formado por la recta y el eje es un ángulo obtuso. Esto quiere decir que el ángulo es mayor de 90°.
• Si la pendiente m es igual a cero. En este caso, la recta correspondiente es paralela al eje y corta al eje en el punto .
• Si pendiente m es muy grande. En este caso, el ángulo formado por la recta y el eje es muy próximo a 90°. Este caso se conoce como, la pendiente tiende a infinito y el ángulo tiende a 90°.

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4. DETERMINACIÓN GRÁFICA DE LA PENDIENTE DE UNA FUNCIÓN LINEAL.

En esta parte encontraremos la ecuación de la pendiente de una gráfica experimental de función lineal. Comencemos por considerar una recta cualquiera en el plano real (figura 4). Tal recta pasa por los puntos .

Figura 5. Cálculo gráfico de la pendiente de una recta. Elaboración propia con Software Origin 6.1 y Microsoft Power Point.

Como los puntos pertenecen a la recta, la ecuación (1) puede reescribirse como:

Restando miembro a miembro estas igualdades anteriores, se obtiene

Y resolviendo la relación

Finalmente, obtenemos que

Esta relación nos permite concluir que:
Para determinar gráficamente la pendiente de una recta, se seleccionan dos puntos cualesquiera, sobre la misma, se restan las ordenadas y las abscisas de dichos punto. Al dividir estos resultados, se obtiene .

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5. EJEMPLO EXPERIMENTAL.

En el experimento de Efecto Hall, se calcula la densidad de flujo magnético B midiendo la intensidad del campo magnético H de una bobina por la que fluye una corriente variable. Debido a la relación:

Donde . Suponiendo que la permeabilidad relativa (es decir, ) y teniendo en cuenta los valores experimentales de H, se puede obtener el valor numérico de la permeabilidad magnética del vacío . Entonces,

Figura 6. Medidas experimentales del Efecto Hall para el cálculo de la permeabilidad magnética. Elaboración propia con Software Origin 6.1.

Comparando la ecuación (3) con la ecuación (1), tenemos que . Por lo que, empleando los puntos de la figura 6, tenemos que la ecuación (2) se transforma en:

Sustituyendo los valores correspondientes,

Como el valor teórico de la permeabilidad magnética del vacío es , es decir, , la desviación estándar resulta del 13 %, siendo este valor experimental bastante preciso con respecto al valor teórico datado.

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En artículos pasados empleé el ajuste de funciones lineales para determinar gráficamente la pendiente de una recta experimental. Aquí les dejaré este artículo:

"Caracterización óptica de nanocristales Semiconductores"

En todos estos, se calculó la pendiente de la recta y se relacionó esta, con algún coeficiente relacionado dentro del fenómeno físico. Les invito a leer este artículo y relacionar la matemática del análisis.

De esta manera, concluimos en la importancia del conocimiento de las herramientas matemáticas para el análisis de datos tomados en nuestro campo de trabajo, sin importar si somos Físicos, Biólogos, Químicos, o si desarrollamos otras ciencias.

En un siguiente Post les estaré compartiendo a cerca de la forma matemática de la curva “RECTA”. Así como, la obtención de la ecuación de una recta a partir de datos experimentales, y la resolución gráfica de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

Muchas gracias querida comunidad #stem-espanol. Att. @djredimi2.

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TEXTOS RECOMENDADOS.

Ron Larson, Bruce Edwards. (2010). "Calculo I, de una variable". DF, México. Novena Edición. Editorial Mc Graw Hill. [Texto en línea].

Figuera Yibirín, Júpiter. (1992). “Matemática noveno grado”. Cumaná, Venezuela. Editorial Co-bo.

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