Saludos comunidad científica de Steemit, en especial a mis amigos e integrantes de las comunidades de #steemstem, #stem-espanol, #utopian-io y #cervantes; Por el valioso apoyo académico-científico, para esta ocasión les tengo, la temática “Razones Trigonométricas”, en donde su aplicación o un aporte de la trigonometría en el desarrollo científico, sería en la elaboración de métodos numéricos por parte de matemáticos, para realizar una ecuación diferencial o resolver una integral, que no se pueda trabajar con los métodos convencionales. También es importante mencionar, su aplicación en la vida cotidiana aplicada por la ingeniería civil, para construcción de casa, sino también, para la medición de distancias entre algunos puntos geográficos y en sistemas de navegación por satélites.

Una vez definido un ángulo, como cada una de las regiones en que dividen, el plano dos semirrectas con origen común y tomando como sentido positivo, el contrario al movimiento de las agujas de reloj, y como sentido negativo el de movimiento de las agujas de reloj, debemos hablar de las unidades adecuadas para medirlos. La trigometría es la parte de las matemáticas, que pone en relación las distancias con los ángulos, por lo que encuentra aplicación en una gran variedad de problemas.

Medidas de ángulos.
El sistema sexagesimal, es el más utilizado, como unidad fundamental emplea el grado, que es la noventava parte del ángulo recto, ya que el ángulo recto mide 90 grado sexagesimales. Como subunidades tenemos el minuto, que es la sesentava parte del grado, y el segundo, que es la sesentava parte del minuto, los segundos se subdividen en décimas, centésimas, para facilitar la notación que escribiremos ejemplo: 20 grados, 12 minutos, 5 segundo, = 20° 12´5”.

El sistema centesimal tiene como unidad fundamental el grado centesimal, que es la centésima parte del ángulo recto; sus subunidades son el minuto y el segundo centesimales, que son la centésima parte de la unidad superior.

Figura 1. un triángulo rectángulo( elaborado por @chetoblackemtel).

En el sistema trigonométrico tomamos como unidad el radián, que es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud, es igual a la radio. Para medir un ángulo en radianes hay que medir el arco correspondiente y dividirlo por la longitud del radio. El cociente entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro nos determina un valor constante, π; será habitual usarlo para expresar los ángulos en este sistema.

Las razones trigonométricas de un ángulo, son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
Para este caso usaremos triangulo rectángulos para establecer las relaciones entre segmentos y ángulos, que nos permitan calcular las longitudes de los segmentos, a partir de las amplitudes de los ángulos o viceversas. Seno de un ángulo agudo. Tenemos un triángulo ABC, definiremos el seno de un ángulo, como el cociente entre las longitudes del cateto opuesto y de la hipotenusa.

Tenemos: sen B= b/a y sen C= c/a.

Al observar el cociente que nos proporciona el seno de un ángulo agudo, podemos afirmar que su valor será siempre menor que 1, ya que los catetos de un triángulo rectángulo son siempre menores que sus hipotenusa. Si tomamos otros triángulos rectángulos con los mismos ángulos agudos, observamos que los cocientes correspondientes nos determinarán el mismo valor para el seno, es único. Tomando el mismo triangulo rectángulo ABC, deferimos el coseno de un ángulo agudo, como el cociente entre el cateto continuo al ángulo y la hipotenusa.

Tenemos: cos B = c/a y cos C = b/a.

Al igual que el seno, el coseno de un ángulo agudo será siempre menor que 1 y positivo; además, su valor es único independientemente del triángulo tomado con los mismo ángulos. Para calcular la tangente de un ángulo agudo se necesita los catetos, tomando el mismo triangulo rectángulo ABC, definiremos los la tangente de un ángulo agudo como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo.

Tenemos: tg B = b/c y tg C= c/b.

La tangente de un ángulo agudo, es única para cada ángulo, pero puede ser cualquier número positivo. Los valores inversos de las razones trigonométricas seno, cosenos, y tangentes nos determinan respectivamente, la constante, la secante y la cotangente.

Tenemos:
Csc α = 1/sen α.
Sec α = 1/ cos α.
Ctg α = 1/ tg α.

Razones trigonométricas de otros ángulos.
Para generalizar las razones trigonométrica a cualquier ángulo, necesitaremos loas coordenadas cartesianas rectangulares, si dibujamos una circunferencia con centro en el origen de coordenadas, O, y representamos los ángulos con vértices en dicho origen y el primer lado coincidiendo lados nos determina un punto B al cortar con la circunferencia, supongamos que la abscisa de B es x y la ordenada y: si llamamos R al radio de la circunferencia dibujada, tenemos un triángulo rectángulo CBO, del que obtenemos las siguientes relaciones:

1-. Sen α = BC/OB = y/R = ordenada/radio.
2-. Csc α = OB/BC = R/y = radio/ordenada.
3-. Cos α = OC/OB = x/R = abscisa/radio.
4-. Sec α = OB/OC =R/x = radio/abscisa.
5-. Tg α = BC/OC = y/x = ordenada/abcisa.
6-. Ctg α = OC/BC = x/y = abscisa/ordenada.

Figura 2. Estos cocientes permitan generalizar las definiciones de cualquier ángulo, tomando el triángulo rectángulo que lo determinan, los signos de las razones trigonométricas depende de los signos de las abscisas y la ordenada correspondiente al radio siempre se considera positiva, por ello podemos simplificar las cosas hablando de cuadrantes. (Elaborado por @chetoblackmetal).

Relaciones entre diversas razones trigonométricas.
Las siguientes relaciones nos permitirán deducir cualquier razón trigonométrica a partir de otras dadas.

La tangente es igual al cociente entre el seno y el coseno:
Tg α = sen α / cos α.

La constante es igual al cociente entre el coseno y el seno:
Ctg α = cos α / sen α.

La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un ángulo es igual a la unidad:
Sen ² α + cos ² α = 1.

La diferencia entre el cuadrado de la constante y el cuadrado de la cotangente de un mismo ángulo es igual a la unidad:
Csc ² α - ctg² α = 1.

La diferencia entre el cuadrado de la secante y el cuadrado de la tangente de un mismo ángulo es igual a la unidad:
Sec ² α – tg ² α= 1.

Tabla de signos. (Elaborada por @chetoblackmetal).

Ahora veamos a continuación la relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos, que difieren en un número completo de circunferencia coinciden:
Sen (α + 2kπ) = sen α.
Cos (α + 2kπ) = cos α.
Tg (α + 2kπ) = tg α.
Ctg (α + 2kπ) = ctg α.
Sec (α + 2kπ) = sec α.
Csc (α + 2kπ) = csc α.

Las razones trigonométricas de ángulos complementarios verifican las siguientes igualdades:
Sen (90° - x) = cos x.
Cos (90° - x) = sen x.
Tg (90° - x) = ctg x.
Ctg (90° - x) = tg x.
Sec (90° - x) csc = x.
Csc (90° - x) = sec x.

Por su parte, las razones trigonométricas de un ángulo suplementario cumplen las siguientes igualdades:
Sen (180° - x) = sen x.
Cos (180° - x) = - cos x.
Tg (180° - x) = -tg x.
Ctg (180° - x) = - ctg.
Sec (180° - x) = - sec.
Csc (180° - x) = csc x.

Los ángulos que difieren en 180° verifican las siguientes igualdades entre sus razonas trigonométricas:
Sen ( 180° + x) = - sen x.
Cos ( 180° + x) = - cos x.
Tg ( 180° + x) = tg x.
Ctg ( 180° + x) = ctg x.
Sec ( 180° + x) = - sec x.
Csc ( 180° + x) = - csc x.

En el caso opuesto que cumplen las siguientes igualdades:
Sen (360° - x) = -sen x.
Cos (360° - x) = cos x.
Tg (360° - x) = -tg x.
Ctg (360° - x) = - ctg x.
Sec (360° - x) = sec x.
Csc (360° - x) = - csc x.

Por lo que respecta a los ángulos que difieren en 90° se cumple:
sen (90°+ x) = cos x.
Cos (90°+ x) = - sen x.
Tg (90°+ x) = - ctg x.
Ctg (90°+ x) = - tg x.
Sec (90°+ x) = - csc x.
Csc (90°+ x) = sec x.

Figura 3. Nos muestra como estas expresiones nos permitirán reducir las razones trigonométricas de un ángulo a las otro primer cuadrante, ya que los valores numéricos coinciden si despreciamos el signo correspondiente, la razón trigonométricas podemos calcular el ángulo o los ángulos correspondientes a partir de ella, bien sea seno coseno, y la tangente. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.(Elaborado por @chetoblackmetal).

Aplicaciones en la vida de las razones trigonométricas.

La ingeniería civil

En la ingeniería civil, Los constructores necesitan saber qué altura necesita una grúa para llegar a la cima de un edificio. Los diseñadores de los puentes necesitan saber qué tan alto debe abrir un puente levadizo para permitir que los buques modernos puedan pasar. La trigonometría consta de una serie de fórmulas que se ocupan de la longitud y los ángulos en un triángulo rectángulo. De tal manera, que entonces aplica la fórmula de la tangente (tangente del ángulo = lado opuesto al ángulo a/ lado adyacente al ángulo a).

El Canadarm 2

El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonométricas de los ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.

biología

Otro aporte en el plano científico podría ser en la biogenética o en la biología para evaluar funciones que dependan de ciertos parámetros trigonométricos.

La electricidad

La trigonometría y la electricidad están estrechamente relacionadas. El mayor uso de la trigonometría en la electricidad está basado en las múltiples aplicaciones que tiene específicamente en la corriente alterna.

Corriente eléctrica: El termino corriente eléctrica se emplea para describir la tasa de flujo de carga que pasa por alguna región de espacio. La mayor parte de las aplicaciones prácticas de la electricidad tienen que ver con corrientes eléctricas. Por ejemplo, la batería de una luz de destellos suministra corriente al filamento de la bombilla cuando el interruptor se conecta.

Corriente alterna: Se denomina corriente alterna (CA ó AC en inglés) a la corriente eléctrica en la que la magnitud y dirección varían cíclicamente y cambia repetidamente de polaridad. Esto es, su voltaje instantáneo va cambiando en el tiempo desde 0 a un máximo positivo, vuelve a cero y continúa hasta otro máximo negativo.

Ejercicio 1-.

Calcula las razones trigonométricas del ángulo C del siguiente triángulo.
Lo primero ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras minúsculas a los lados que están enfrente del ángulo con la correspondiente letra mayúscula; es decir a = 15 m, b = 7 m y c es el lado que queremos calcular.

Imagen elaborada por @chetoblacmetal.

Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:

a2 = b2 + c 2
15² = 7² + C².
225 = 49 + C².
C² = 225 – 49
C = 13, 26 m.

Tenemos que:

Sec C = 13, 26 / 15 = 0,884.
Cos C = 7/15 = 0,46.
Tg C = 13, 26 / 7 = 1, 89.

Ejercicio 2-.

De un triángulo rectángulo se sabe que uno de sus ángulos agudos es 40º y que el cateto opuesto a éste mide 5m. Calcula el ángulo y los lados que faltan.

Imagen elaborada por @chetoblackmetal.

Para empezar los más fácil es sacar el ángulo que falta, y aplicando que la suma de los tres es 180, el ángulo B vale 50º.

Vamos a calcular ahora por ejemplo el lado "b". Si me fijo en el ángulo C, el lado que sé es el cateto opuesto y el que pretendo calcular es el contiguo. Como la razón trigonométrica en la que intervienen estos es la tangente, voy a despejar a partir de ahí:

Tg C = tg 40 = c/b = 5/b, tenemos que b = 5/tg 40= 5/0,84 = 5, 95 m.
Por tanto ya tenemos el lado "b". Para calcular el lado "a" podríamos aplicar Pitágoras o sacarlo por alguna razón.
Vamos a seguir este camino que será más simplificado.

Hay que tomar en cuenta lo siguiente, para el ángulo "C", es cateto opuesto y quiero hipotenusa; así que habrá que utilizar el seno:
Sen C = sen 40 = 5/a, donde a = 5/sen 40 = 5/ 0,64 = 7, 81 m.

Ejercicio 3-.

Calcular la altura de la torre si nuestro personaje está a 8 m de la base de la torre, el ángulo con el que está observando la cúspide es de 60º y sostiene el artilugio a una altura de 2 m.

Imagen elaborada @chetoblackmetal.

El lado c mide 8 m y una vez que tengamos calculado el lado b, para calcular la altura de la torre sólo tendremos que sumarle los 2 m. Así pues, vamos a calcular el lado b.

Tomando en cuenta lo siguiente, para el ángulo 60º, el lado que conocemos es el cateto contiguo y el que quiero calcular es el cateto opuesto, se plantea la tangente de 60º.

Tg = b/c = b/8, donde b 8(tga 60) = 8(1,73) = 13, 84 m.
Por tanto la altura de la torre es 13, 84 m + 2 m = 15, 84 m.
La torre es 15, 84 m.

Referencia Bibliográfica.

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Precalculo con avances de calculo quinta edicion Dennis G. Jackeline M.
Geometría plana y del espacio: con una introducción a la trigonométria

Libro de Aurelio Baldor, Marcelo Santaló Sors y Pablo E. Suardiaz Calvet

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Algebra y trigonometría con geometría analítica de Earl W. Swokoski

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