Determinación Algebraica de los Grados de Libertad de Sistemas Materiales en Estática Aplicada y Ejemplo de Aplicación

Saludos a toda la comunidad de Steemit, en especial a la comunidad científica de #STEM-espanol y #SteemSTEM, bienvenidos a este blog dedicado a la Estática Aplicada, tema referente a la Ingeniería Civil y que sirve como base para el análisis y diseño estructural. En esta oportunidad veremos cómo determinar los grados de libertad de un sistema material en el plano mediante un acercamiento didáctico y detallado con ejemplos de aplicación, así el estudiante/lector se familiariza con métodos para el análisis de estabilidad de sistemas materiales. Es recomendable leer los artículos anteriores (Referencias [2] y [3]) para un mejor seguimiento de lo explicado en esta publicación.

Sistema de Chapas Vinculadas entre Sí

Cuando se tiene un cuerpo rígido plano (chapa) único, la determinación de sus grados de libertad presenta relativa sencillez ya que es el resultado de restar las unidades de vinculación totales a los grados de libertad de la chapa en el plano, las cuales son tres (rotación y dos desplazamientos perpendiculares). Si se tiene un sistema material de dos o más chapas vinculadas entre sí, la determinación de los grados de libertad del sistema requiere de un procedimiento algebraico.

-Consideremos un conjunto de chapas libres en el plano sin ninguna vinculación entre sí. Vamos a calcular los grados de libertad de este sistema material.

_{Figura N°1: conjunto de chapas libres en el plano. | Imagen elaborada mediante LibreCAD | @acont | 2018.}

-Cada chapa libre presenta en total tres grados de libertad, por lo tanto este sistema posee “3n” grados de libertad.

_{Figura N°2: grados de libertad de chapas libres en el plano. | Imagen elaborada mediante LibreCAD | @acont | 2018.}

-Si vinculamos las chapas ya sea al sistema tierra o entre sí, estamos eliminando varias posibilidades de movimiento al sistema material, este número de posibilidades de movimiento va a depender de cuantas vinculaciones (sumatoria de las unidades de vinculación) tenga el sistema.

_{Figura N°3: chapas vinculadas entre sí mediante par de bielas paralelas (entre I y II) y rótulas (entre chapas II y III, y III y IV). | Imagen elaborada mediante LibreCAD | @acont | 2018.}

Por lo tanto, podemos calcular los “GL” del sistema mediante la ecuación:

Donde "V" es la sumatoria de todas las unidades de vinculación (UV) que posee el sistema material.

-Las vinculaciones corresponden tanto a la sumatoria de las Vinculaciones Externas como de las Vinculaciones Internas. Entonces podemos establecer la siguiente expresión:

Donde "Vext" es la sumatoria de las unidades de vinculación externas y "Vint" es la sumatoria de las unidades de vinculación internas.

Finalmente, sustituyendo la Ecuación (2) en la Ecuación (1), obtenemos:

Mediante la Ecuación (3) podemos determinar los grados de libertad de cualquier sistema material en el plano, este número indica la cantidad de desplazamientos y rotaciones independientes que posee el sistema material [2]. Los grados de libertad de un sistema vienen dados por el número mínimo de unidades de vinculación que se le deben adicionar para llevarlo a condiciones de equilibrio estático [1]. Por cada vínculo que se le agregue al sistema para llevarlo a condiciones de equilibrio estático, se está eliminando un parámetro (desplazamiento o rotación) independiente que define las posibilidades de movimiento del sistema material.

Modelo de Idealización o Representación de Chapas

Las chapas son cuerpos rígidos indeformables en el plano, por lo tanto, para hacer más práctico el análisis de sistemas materiales, su representación puede ser idealizada mediante barras rígidas, además, muchos elementos estructurales en ingeniería se suelen representar de esta forma ya que presentan una dimensión mucho mayor a las otras dos.

Podemos entonces sustituir la representación teórica de chapa por barras rígidas que están unidas rígidamente, por una barra curva, o bien por una barra única. Recordemos que la junta rígida es un vínculo interno de tercera especie que no permite ningún movimiento relativo, el cual mantiene la rigidez del conjunto, no solo es un vínculo interno, permite extender los límites de una chapa [3].

_{Figura N°4: la representación teórica de una chapa puede sustituirse por barras rígidas. | Imagen elaborada mediante LibreCAD | @acont | 2018.}

Casos Particulares de Unidades de Vinculación

Pueden darse situaciones durante la determinación de los grados de libertad de sistemas materiales que requieren un análisis especial.

1. Más de dos Chapas Articuladas

_{Figura N°6: se restringe el movimiento de la chapa I mediante un empotramiento, la articulación pasa a ser un punto fijo sobre el cual las demás rotan. Se estudian sus vinculaciones. | Imagen elaborada mediante LibreCAD | @acont | 2018.}

Ya que al realizar esto la articulación se convierte en una articulación fija a tierra, cada una de las restantes chapas presentan dos unidades de vinculación respecto al sistema tierra supuesto, por lo tanto, en este “sistema supuesto” se tienen “2n” unidades de vinculación, donde “n” representa el número de barras de este sistema. Pero resulta que en el sistema real existe una barra adicional la cual hicimos formar parte del sistema tierra, para hacer válida la fórmula debemos restar sus dos unidades de vinculación correspondientes, o lo que es equivalente: disminuir en 1 unidad el número “n” de barras. De esta forma llegamos a la siguiente expresión para las unidades de vinculación internas de varias chapas articuladas entre sí:

2. Más de dos Chapas vinculadas mediante Junta Rígida

De forma análoga al caso anterior, también podemos encontrar más de dos barras unidas mediante una junta rígida. Si bien podemos considerar todo el conjunto como una sola chapa ya que se conserva la rigidez del sistema, también podemos tomar cada barra por separado y analizar las unidades de vinculación internas de la junta rígida. En este caso, al restringir el movimiento de una de las barras las demás también quedan totalmente restringidas y cada una presenta tres unidades de vinculación respecto al sistema tierra. El “sistema supuesto” tendría “3n” unidades de vinculación y se deben restar las tres correspondientes a la barra adicional. De esta manera para chapas unidas mediante junta rígida se cumple que las unidades de vinculación internas son:

3. Vínculo Interno Múltiple

Cuando se da este caso hay que realizar con cuidado un estudio de las unidades de vinculación internas. Veamos el siguiente ejemplo:

_{Figura N°10: si se libera el desplazamiento relativo que se indica se llega a la vinculación deseada. | Imagen elaborada mediante LibreCAD | @acont | 2018.}

4. Vínculo Externo e Interno

Un error común en el cálculo de los grados de libertad de un sistema material es ignorar que a veces un vínculo externo puede también operar como vínculo interno. Veamos el siguiente ejemplo:

_{Figura N°11: en este ejemplo, la articulación fija no solo opera como vínculo externo, si no que existen tres chapas que se vinculan a ella. La articulación entre estas tres chapas se da en el mismo punto en el cual existe la vinculación interna. De esta manera, se deben tomar en cuenta las vinculaciones tanto internas como externas. | Imagen elaborada mediante LibreCAD | @acont | 2018.}

Debemos contar como vinculaciones externas las que aporta el vínculo externo (articulación fija a tierra=2 UV) y vinculaciones internas las que resultan de la articulación de tres chapas (2(3-1)=4 UV).

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Ejemplo de Aplicación

Vamos a calcular los grados de libertad del sistema material presentado en la imagen principal de esta publicación.

_{Figura N°12: ejemplo de sistema material. | Imagen elaborada mediante LibreCAD | @acont | 2018.}

En la Fig. 12, observamos un sistema con un cuatro chapas. Se puede ver que la chapa III está conformada por tres chapas articuladas entre sí, este arreglo puede considerarse como cuerpo rígido único ya que no es deformable, si se toma aparte y se calculan sus grados de libertad da tres como resultado, al igual que una chapa libre. De esta manera se simplifica el cálculo de los grados de libertad.

Contamos en la Fig. N°12 con tres tipos de vínculos externos: apoyo simple (rodillo y patín) que aporta una unidad de vinculación interna cada uno; la articulación fija, que aporta dos unidades de vinculación; y el empotramiento móvil igualmente con dos. Un par de bielas paralelas vincula a las chapas I y II; mientras que una articulación vincula las chapas II, III y IV entre sí. Cada uno de los vínculos internos de este sistema aporta dos unidades de vinculación.

Si tomamos cada barra como una chapa individual y tomamos en cuenta la vinculación de las juntas rígidas, vemos como llegamos al mismo resultado (Fig. N°13).

_{Figura N°13: mismo sistema material que el de la Figura N°12 pero tomando cada barra como chapa única. | Imagen elaborada mediante LibreCAD | @acont | 2018.}

En este caso, tenemos nuevas vinculaciones internas: dos juntas rígidas que aportan tres unidades de vinculación cada una; dos rótulas que articulan tres chapas (4 UV); y un vínculo externo/interno (patín y rótula) que aporta una vinculación externa y dos internas.

Observamos que de una manera u otra llegamos al mismo resultado. Esto comprueba que la definición de chapa (cuerpo rígido plano) se verifica ya que considerar un conjunto de barras unidas rígidamente o bien tres chapas articuladas como una sola chapa única arroja resultados equivalentes para el análisis de los posibles movimientos del sistema material. Esto además simplifica en gran manera los cálculos ya que se disminuye el número “n” de chapas a analizar.

En el ejemplo mostrado, el sistema posee cero grados de libertad, es decir, teóricamente posee las vinculaciones suficientes para que el sistema “no se mueva” (sea estable). Sin embargo, la estabilidad no solo se logra teniendo vinculaciones suficientes sino mediante la correcta disposición de las mismas. En futuras publicaciones veremos un estudio detallado de la estabilidad de sistemas materiales, así podremos verificar si un sistema posee vinculaciones mal dispuestas (vínculos aparentes [2]). De igual manera estudiaremos la estabilidad de sistemas de uno o más grados de libertad desde el punto de vista de la Estática Aplicada y de sistemas con más vinculaciones de las necesarias para lograr la estabilidad, es decir, cuyos grados de libertad resultan en un número negativo.

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Referencias

[1] Hernández, Suilio. (1998). Estática Aplicada. Caracas, Venezuela: Folleto Editado por el Departamento de Ingeniería Estructural U.C.V., página 11.
[2] @acont. Introducción al Estudio de la Estática Aplicada. Disponible en: https://steemit.com/stem-espanol/@acont/introduccion-al-estudio-de-la-estatica-aplicada
[3] @acont. Estática Aplicada: los Vínculos y su Aplicación a Sistemas Estructurales en la Realidad. Disponible en: https://steemit.com/stem-espanol/@acont/estatica-aplicada-los-vinculos-y-su-aplicacion-a-sistemas-estructurales-en-la-realidad

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Imágenes y ecuaciones de autoría propia, realizadas mediante LibreCAD y Microsoft Word por @acont.

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