MATEMÁTICAS DE LA DESIGUALDAD ECONÓMICA, CONSIDERACIONES SOBRE EL COEFICIENTE DE GINI, LA CURVA DE LORENZ Y LA DISTRIBUCIÓN DE LA RENTA COMO FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Saludos estimados seguidores de STEEMIT y miembros de las comunidades científicas #STEEMSTEM y #STEM-ESPANOL, a continuación les comparto un artículo de mi autoría enfocado en el estudio de la desigualdad económica mediante la aplicación de las matemáticas, específicamente la Curva de Lorenz y la Integral Definida.

La Curva de Lorenz es una herramienta utilizada en economía para representar gráficamente la desigualdad económica en un grupo social, si bien su ámbito de aplicación por lo general abarca grandes grupos de personas tales como países o regiones, puede ser aplicada también a grupos pequeños.

De la mano de dicha herramienta del análisis económico surge el Coeficiente de Gini el cual se usa para cuantificar la desigualdad económica en un grupo social, en el presente artículo se explica el proceso de construcción de la curva de Lorenz y como se usa para calcular el coeficiente de Gini en un grupo social.

En la imagen N° 1 podemos apreciar un ejemplo de la curva de Lorenz (línea azul) la cual suele representar de forma porcentual el ingreso de cada estrato del grupo estudiado, básicamente se trata de un plano en el cual el eje horizontal representa la población (como porcentaje de la población total) y el eje vertical la cantidad de ingreso percibido (como porcentaje del ingreso total).

Imagen N° 1 Curva de Lorenz, Fuente @ydavgonzalez utilizando la herramienta https://www.desmos.com/.

En esta imagen se puede observar claramente que el 20% de la población percibe un ingreso menor al 5% del ingreso total percibido por el grupo social, el 40% de la población percibe un ingreso menor al 20% del ingreso total, y el 60% percibe poco más del 35% del ingreso.

Por encima de la curva de Lorenz se encuentra la línea de igualdad perfecta (Línea roja) la cual describe la forma como debería distribuirse el ingreso en una situación de igualdad perfecta en la cual todos los miembros del grupo social perciben igual ingreso.

En el mismo orden de ideas, junto a la curva de Lorenz se utiliza el Coeficiente de Gini el cual permite evaluar la desigualdad en un grupo social, el Coeficiente de Gini adquiere valores que van desde 0 hasta 1, donde 0 se utiliza para representar la igualdad perfecta (la cual coincide con la línea roja en la imagen N° 1) y el 1 un sistema económico con desigualdad absoluta (un solo individuo percibe todo el ingreso y los demás nada).

El Coeficiente de Gini está relacionado con la curva de Lorenz en el sentido que dicho coeficiente suele calcularse como el cociente entre el área comprendida entre la línea de igualdad perfecta y la curva de Lorenz, y el área delimitada entre la línea de igualdad perfecta y el eje inferior.

Básicamente en el presente artículo se analizará como se construye la curva de Lorenz en un grupo social, supongamos que se trata de una empresa compuesta por 5 individuos en la cual el ingreso se distribuye de forma desigual, donde el individuo con menor ingreso recibe el 8,28% y el individuo con mayor ingreso el 48,03%.

Individuo	Ingreso
1	8,28%
2	12,38%
3	12,68%
4	18,63%
5	48,03%
Total	100%

Tabla N° 1 Ejemplo de distribución de la renta, Fuente @ydavgonzalez.

Para construir la curva de Lorenz se debe tener en cuenta que por tratarse de 5 individuos cada uno de ellos representa el 20% de la población, comenzando por los individuos con menor ingreso obtenemos la siguiente tabla:

% de Población	% de Ingreso
20%	8,28%
40%	20,66%
60%	33,34%
80%	51,97%
100%	100%

Tabla N° 2 Renta acumulada por cada porcentaje de la población, Fuente @ydavgonzalez.

La tabla anterior permite apreciar que el 40% de los individuos con menor ingreso reciben el 20,66% del ingreso total, el 60% de la población con menor ingreso obtiene el 33,34% del ingreso y así sucesivamente para los demás valores, una vez que se tienen estos datos se grafica la curva de Lorenz, al momento de hacer la gráfica se representan todos los porcentajes en escala de 0 a 1.

Imagen N° 2 Curva de Lorenz para el ejemplo propuesto, Fuente @ydavgonzalez utilizando la herramienta https://www.desmos.com/.

Aquí se observan ambas líneas, la curva de Lorenz y la línea de igualdad perfecta, en base a esta representación se procede a calcular el área bajo la curva de Lorenz para usarla para estimar el Coeficiente de Gini.

1- Método Geométrico

Para determinar el área bajo la curva de Lorenz se divide la gráfica anterior en un triángulo y cuatro trapecios y se procede a determinar las áreas de cada una de estas figuras para luego sumarlas.

Imagen N° 3 Curva de Lorenz mostrando los diferentes polígonos que componen el área bajo la curva, Fuente: @ydavgonzalez utilizando la herramienta https://www.desmos.com/.

Área del triángulo

Luego se calculan las áreas de los cuatro trapecios

Finalmente para obtener el área total bajo la curva de Lorenz se suma el área del triángulo y las áreas de los 4 trapecios:

El área por debajo de la línea de igualdad perfecta se observa claramente que es 0,5 por ser la mitad del área de un cuadrado de lado 1, entonces el área entre la linea de igualdad perfecta y la curva de Lorenz es

Finalmente el Coeficiente de Gini se calcula como el cociente entre el área entre la curva de Lorenz y la línea de igualdad perfecta dividida entre el área total bajo la línea de igualdad perfecta

Lo cual se corresponde con un coeficiente de Gini medio, más cercano a 0 que a 1, es decir, más próximo a una situación de igualdad perfecta que a una de desigualdad absoluta.

En otro orden de ideas, el coeficiente de Gini suele expresarse en base a 100 en cuyo caso se le denomina Índice de Gini, en el ejemplo anterior el Índice de Gini para el grupo social presentado sería de 34,3%.

2- Fórmula de Brown

Un método más práctico sobre todo en los casos en que el grupo social está compuesto por una gran cantidad de individuos es la Fórmula de Brown:

Para el ejemplo N° 1 la tabla es la siguiente

k	xk	yk
0	0	0
1	0,2	0,0828
2	0,4	0,2066
3	0,6	0,3334
4	0,8	0,5197
5	1	1

Tabla N° 3 Valores de x_k y y_k para la fórmula de Brown, Fuente @ydavgonzalez.

Obteniendo el mismo resultado que por el método geométrico.

La Curva de Lorenz y su relación con la función de densidad de probabilidad

En la teoría de la probabilidad existe una función conocida como Función Densidad de Probabilidad, la cual describe la probabilidad que tiene una variable aleatoria continua de tomar determinado valor.

Para cada valor que pueda tomar la variable aleatoria existe una probabilidad asociada, es evidente que la probabilidad siempre debe ser menor a 1, y la suma de todas las probabilidades igual a 1. Sea f(x) la función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria, entonces la probabilidad de que f(x) caiga en un intervalo [a,b] es igual a

Para el caso de la distribución de la renta de una sociedad, podemos asumir que dicha distribución es descrita por una función de densidad de probabilidad, es decir, para cada valor de la renta r existe una probabilidad de caer en dicha renta, por ejemplo, para un 5% de la renta existe un 1% de probabilidad, debido a que el 1% de los individuos perciben el 5% de la renta, sea

La función de la renta, entonces la proporción de la población con una renta inferior a r viene dada por

Sin embargo, si se desea calcular la proporción entre la renta acumulada por las personas por debajo de la renta r y la renta total del grupo social se debe calcular

Lo cual muchas veces suele representarse como

Donde R_m representa la renta media del grupo social. Por ejemplo, en algunas ocasiones se utiliza una función exponencial como función de densidad de probabilidad para la renta, en este sentido se puede utilizar una expresión del tipo

Dada esta función para la distribución de la renta, se puede calcular la proporción de personas por debajo de una renta dada como la integral definida de dicha función, es decir, la ecuación 2

Respecto a la proporción entre la renta acumulada por las personas por debajo de la renta r y la renta total del grupo social se debe resolver sustituyendo f(x) en la ecuación número 3

Resolvemos la integral, aplicando integración por partes

Evaluando en la ecuación para R(r)

Teniendo en cuenta que en el denominador se trata de una integral impropia

Resolviendo el límite que aparece en la integral

El segundo sumando es evidentemente igual a cero, para el primer término aplicamos L’ Hopital

Sustituyendo este resultado en la expresión para R( r)

Se obtiene

Llegado a este punto se pueden combinar las ecuaciones 4 y 5 para obtener una expresión para la Curva de Lorenz (Relación entre la proporción de personas por debajo de cierta renta y la proporción de la renta percibida por dichas personas), para lo cual despejamos r en la ecuación 4

Por razones de simplicidad representaremos P(r) como P

Sustituyendo en la ecuación 5

Como esta expresión relaciona a la población con la renta puede usarse para construir la curva de Lorenz y también para calcular el coeficiente de Gini, teniendo en cuenta que dicho coeficiente es equivalente al área entre la línea de igualdad perfecta y la curva de Lorenz dividida entre el área total bajo la línea de igualdad perfecta.

El área total bajo la línea de igualdad perfecta es fácil de calcular teniendo en cuenta que se trata de un triangulo de base 1 y altura 1

Si la función R(P) describe a la curva de Lorenz, entonces su integral representa el área bajo dicho curva

Luego

Resolviendo dicha integral

Teniendo en cuenta que se trata de una integral impropia, debido a que ln(0) no existe, resolvemos

Lo cual se corresponde con un Índice de Gini de 50%.

CONCLUSIONES

1. Una de las medidas de la desigualdad económica más utilizada en el mundo es el Coeficiente de Gini, el cual tiene una base matemática relacionada con el área bajo la curva de la distribución de la renta.
2. La Función de Densidad de Probabilidad (FDP) posee aplicaciones en la medición de la distribución de la renta en un grupo social.
3. La Función Exponencial debido a su simplicidad puede ser utilizada para modelar la distribución de la renta, sin embargo, existen funciones más apropiadas para dicho propósito tal como la Función Gamma.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y LECTURAS RECOMENDADAS

1. Anton, Bivens y Davis (2010), Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. 2da edición Editorial Limusa Willey.

2. Budnick (2007), Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. 4ta edición Editorial Mc Graw Hill.

Si deseas leer contenido científico de calidad en habla hispana te invito a revisar la etiqueta #STEM-ESPANOL donde podrás encontrar diversidad de temas, Matemática, Ingeniería, Física, Química, Biología, Medicina, Ciencia, Tecnología y mucho más.

Logotipo del Área de Matemáticas de #STEM-ESPANOL